Модели оценки опционов

Вычисленная справедливая рыночная стоимость опциона может как совпадать, так и не совпадать с текущим значением цены.

Концептуально модель Блека - Шоулза очень проста:

Цена опциона колл = ожидаемая будущая цена за акцию - ожидаемая стоимость исполнения опциона.

Однако практическую ценность имеют поправки, учёт которых может существенно изменить цену. Блек и Шоулз дополнили это уравнение следующими поправками:

1. на вероятность разброса будущей цены акции(актива);

2. на чистое значение стоимости исполнения;

3. на вероятность того, что цена исполнения может быть выше, чем цена базисного актива;

4. на тот факт, что часть любого платежа может быть получена по безрисковой ставке.

Стоимость опциона по формуле Блека - Шоулза:

C = SN(h1) - (r(-T) (степень)) KN (h1 - o T),

h1= (ln (S\K) +(ln r +(o 2 (степень)\2)) T)\ o T,

С - теоретическая цена опциона «колл», которая также называется премией;

N(h1) - накопленная вероятность (функция распределения) при нормальном распределении для h1;

K - цена исполнения;

S - сегодняшняя цена акции;

r=1+rf (степень) - ставка процента по безрисковым вложениям;

T - срок до окончания действия опциона;

о - среднеквадратическое отклонение доходности обыкновенных акций(актива) или изменчивость(волантильность) доходности базисного актива.

Пример расчёта цены европейского опциона «колл» по формуле Блека - Шоулза

S = 41.50 $ - сегодняшняя цена акции;

K= 40.00 $ - страйк (цена исполнения);

T= 0.4 - время до исполнения опциона;

r=1+rf(степень) = 1.05 - ставка процента +1;

o = 0.1124 - среднеквадратическое отклонение доходности акций (волантильность доходности акций)

S/K = 41.50 $/40 $ =1.0375;

o2 (степень)/2= 0.0063;

ln r = ln 1.05=0.0488;

ln S\K=ln 1.0375= 0.0368;

o T = 0.0711;

r-T(степень) = 0.9807.

Нам необходимо найти h1

h1 = [ln (S/K) +(ln(r) +(o2 (степень)/2)) Т]/ о Т =(0.0368 +(0.0488 +0.0063)*0.4)/0.0711 = 0.8277;

Тогда

h1 - o T = 0.8277 - 0.0711 = 0.7566;

Стоимость опциона равна:

C = SN(h1) - r - T(степень) KN (h1 - o T)= 41.50 $*N (0.8277) -

- 0.9807 (40.00 $) N (0.7566)= 41.50 $(0.7967) - 0.9807 (40.00 $) (0.7754) = 33.06 $ - 30.42 $ = 2.64 $

Желание инвесторов взять на себя риск не влияет на стоимость опциона.

Не оказывает влияние и ожидаемая доходность акций. Стоимость опциона возрастает с ростом цены акции (S). Она падает при снижении цены исполнения (К), которая в свою очередь зависит от процентной ставки и срока до окончания действия опциона; и стоимость возрастает при умножении количества периодов до срока исполнения на показатель изменчивости цены акции (o Т).

Опцион всегда стоит больше разницы между текущей ценой и ценой исполнения. Опцион «колл» со страйком 95 долларов на акцию в 100 долларов всегда будет стоить больше 5 - ти долларов. Эта разница существует потому, что будущее значение базисного актива может быть как больше, так и меньше 100 долларов. Если базисный актив вырастет до 105 - ти долларов, то премия за «колл» поднимется выше 10 - ти долларов. Плата сверх разницы между страйком и базисным активом - это оценка вероятности более высокой цены.

Чтобы узнать стоимость опциона «пут» с той же ценой исполнения, можно использовать соотношение:

Стоимость опциона «пут» = стоимость опциона «колл» + приведённая стоимость (цены исполнения) - цена акции

Побочным продуктом модели Блека - Шоулза является вычисление числа дельта. Данный показатель даёт представление о том, насколько сдвинется цена опциона при небольшом изменении цены базисного актива. Например, опцион с дельтой 0.5 вырастет на полцента при росте на 1 цент базисного актива. Ярко выраженный опцион «вне денег» имеет дельту, близкую к нулю. Дельта ярко выраженного опциона «в деньгах» близка к единице.

Формула для вычисления дельты европейского опциона «колл» на бездивидендную акцию следующая:

Delta = N(h1)

«Колл» дельта является позитивной, «пут» дельта - негативной. Так как цена опциона «пут» и цена базисного актива являются противоположно зависимыми, «пут» дельту можно вычислить так:

Дельта опциона «пут» = дельта опциона «колл» - 1.

Дельту часто называют нормой хеджирования. Если имеется портфель коротких опционов, то при умножении их числа на дельту получится число необходимых для создания безрисковой позиции акций. Стоимость такого портфеля будет оставаться стабильной при незначительных колебаниях цен.

В таком дельта - нейтральном портфеле рост цены акций будет компенсировать убыток, вызванный ростом стоимости проданных опционов «колл», и наоборот.

В модели Блека - Шоулза есть слабые места, связанные с логарифмически нормальным распределением при определении будущей цены акции. При этом модель дисконтирует цены с низкими вероятностями. Но более низкая будущая цена в сочетании с более низкой вероятностью может оказаться действительной будущей ценой. Тем не менее на сегодняшний день модель Блека - Шоулза признана лучшей моделью для оценки опционов и применяется наиболее широко.

3. Применение теории оценки стоимости опционов

3.1 Использование модели Блека-Шоулза

Модель Блека-Шоулза применяется прежде всего для следующих целей:

1. поиска недооценённых опционов, чтобы их продать или переоценённых, чтобы их купить;

2. хеджирования портфеля с целью понижения риска (при низкой волантильности);

3. оценка рыночных предпосылок будущей волантильности акций.

Трейдеры используют эту модель для сравнения текущих цен на опционы с расчётными. Когда расчётное значение отличается от текущего, они прибегают к арбитражу на их разнице в том случае, когда она больше, чем стоимость заключения сделки. Блек и Шоулз не рассматривали возможности арбитража в своей модели. В то же время известно, что она применяется с целью нахождения, и, следовательно, ограничения возможностей арбитража на рынке. Таким образом, можно говорить о том, что модель действует на практике.

Другим распространённым способом использования модели является вычисление позиций хеджирования для портфеля акций. Поскольку флуктуации цен на опционы происходят в соответствии с ценой акций, можно продать опционы, чтобы уравновесить возможные потери по ней. Модель

Блека-Шоулза помогает определить, сколько опционов необходимо продать, чтобы достигнуть желаемой волантильности портфеля. Ещё один способ использования модели - выявление рыночных предпосылок волантильности. Если опционы оценены рынком правильно, то формула позволяет определить верхнюю и нижнюю границы будущей цены акции. Если эти значения расходятся несущественно, то цены с большей вероятностью, будут близки к расчётному значению будущей цены. Таким образом, чем выше премия за «колл», тем больше различаются ожидания рыночной цены.

Модель Блека-Шоулза используется при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует получение прибыли на опционных торгах.

3.2 Роль опционов в инвестиционном процессе

Рассмотрим два наиболее распространённых и важных реальных опциона, лежащих в основе инвестиционных проектов.

1. Опцион на продолжение инвестиций, если осуществляемый проект успешен.

2. Оценка стоимости свободного участка земли.

Реальные опционы, подобные этим, позволяют менеджерам увеличивать стоимость своей фирмы, расширяя её благоприятные возможности или уменьшая потери.

3.2.1 Опцион на продолжение инвестиций, если осуществляемый инвестиционный проект успешен

2007 год. Компания «ХР», учреждённая производителем компьютеров, желает выпустить на рынок новую модель своего компьютера ТНТ 1. Поможем финансовому директору оценить предполагаемое производство новой модели «ХР» компьютера ТНТ 1.

Прогнозируемые потоки денежных средств и чистая приведённая стоимость производства модели ТНТ 1 представлены в таблице 1. К сожалению, проект производства компьютера ТНТ 1 не может гарантировать компании её обычную минимальную приемлемую рентабельность в размере 20% и имеет отрицательную чистую приведённую стоимость в сумме 46 млрд. долл.

Таблица 1. Потоки денежных средств и финансовый анализ производства микрокомпьютера ТНТ 1 (в млн. руб.; из-за расходов на исследования и разработки, посленалоговый операционный поток денежных средств в 2007 году отрицателен)

Чистая приведённая стоимость при 20% рентабельности = - 46,25 млн. или 46 млн. руб. Расчёт возможной стоимости опциона на инвестирование в производство компьютера ТНТ 2.

Допущения.

1. Решение об инвестировании в производство ТНТ 2 должно быть принято через 3 года, в 2010 году.

2. Объём инвестиций в проект ТНТ 2 в два раза превышает объём инвестиций в проект ТНТ 1. Объём требуемых инвестиций составляет 900 млн. руб. (цена исполнения), что принимается как данное.

3. Прогнозируемые потоки денежных средств от проекта ТНТ 2 в два раза превышают потоки денежных средств от проекта ТНТ 1. Их приведённая стоимость составляет примерно 800 млн. руб. в 2010 году и 800/(1.2) 3 =463 млн. руб. в 2007 году.

4. Будущей стоимости потоков денежных средств от проекта ТНТ 2 свойственна высокая неопределённость. Поведение этой стоимости подобно поведению цен на акции со стандартным отклонением 35% в год.

Возможность инвестировать в проект ТНТ 2 представляет собой опцион «колл» сроком 3 года на активы стоимостью 463 млн. руб. с ценой исполнения 900 млн. руб.

Оценка стоимости опциона

Стандартное отклонение * время = 0.35* 3 = 0.61;

Стоимость активов / приведённая стоимость (цены исполнения) = =463/900/(1.1) = 0.68;

Стоимость опциона колл / стоимость активов = 0.119;

Стоимость опциона колл = 0.119 * 463 = 55.1 или приблизительно 55 млн. руб.

3.2.2 Свободный участок земли

Определим ценность свободного участка земли в обжитой части города. Известно, что самый лучший вариант использования земли - это строительство многоквартирного дома. На участке можно построить либо 6 - либо 9-ти квартирный дом. Обычный подход заключается в том, чтобы определить какого типа здание лучше всего построить на данном участке и найти чистую текущую стоимость денежных потоков (не считая стоимости земли), которые возникнут, если это здание будет построено. Таким образом, можно найти приблизительную величину стоимости земли для случая, когда строительство будет начато немедленно. Но свободный участок земли даёт право выбирать. Если строительство будет отложено на один период, владелец может выбирать между строительством 6-ти и 9-ти квартирного дома.

Такой выбор тоже может иметь свою цену, если наиболее выгодный для будущего периода вариант будет отличаться от того, что наиболее выгодно в текущий момент, так как экономические условия изменятся. Рассмотрим конкретный пример:

1. Текущая ставка процента 0.12%;

2. Текущая стоимость квартиры 100.000 $(6 квартир стоят 600.000 $);

3. Будущая стоимость многоквартирного дома:

а) при благоприятных условиях: 120.000 $ за квартиру;

б) при неблагоприятных условиях: 90.000 $ за квартиру.

4. Расходы на строительство (для текущего и следующего годов):

а) 6-ти квартирный дом: 480.000 $;

б) 9-ти квартирный дом: 810.000 $.

Предполагаем, что квартиры в доме можно будет сдать в аренду; арендная плата возместит связанные с владением домом денежные оттоки (налоги, отопление, эксплуатационные расходы и др.), и обеспечит приток денежных доходов. Эту модель можно модифицировать так, чтобы учесть случаи, когда арендная плата больше или меньше этой суммы, но благодаря нашему предположению пример станет проще, при этом ничего важного мы не упустим.

Есть две возможности: строить сейчас или строить через год. Мы хотим знать, какой вариант предпочтительнее и сколько стоит земля.

Сначала определим, чему равна стоимость земли, если начинать строительство немедленно.

Если дом 6-ти квартирный, то чистый доход равен:

600.000$ - 480.000$=120.000$.

Если дом 9-ти квартирный, то чистый доход будет равен:

900.000$ - 810.000$=90.000$. Так как доход от 6-ти квартирного дома больше, чем от 9-ти квартирного, если начинать строительство в этом году, то земля стоит 120.000$.

Теперь посмотрим, какие варианты возможны, если отложить строительство на год. Мы ещё не знаем, сколько будет стоить жильё в следующем году. Но расчёты похожие на только что приведённые, покажут следующее:

1. Если в следующем году квартира будет стоить 120.000$, то оптимальное решение - построить 9-ти квартирный дом, который принесёт 9*120.000$. - 810.000$.=270.000$.

2. Если квартира в следующем году будет стоить 90.000$, то оптимальное решение - построить 6-ти квартирный дом, который принесёт 6*90.000$ - 840.000$ = 60.000$ - ведь это больше, чем 0 при строительстве 9-ти квартирного дома.

Обычный при разработке капитального бюджета способ - дисконтировать ожидаемые денежные потоки по соответствующей ставке, чтобы определить текущую стоимость участка земли с поправкой на риск для случая, когда строительство откладывается на следующий период. Пусть вероятность повышения цен на жильё в следующем периоде равна 0.9. Тогда ожидаемая ценность дома в следующем периоде 117.000 $ (0.9*120.000 $ +0.1*90.000 $). Если цены на жильё определены правильно, это значит, что ставка дисконтирования равна 17%(117.000 $/1.17=100.000$). Ожидаемая величина доходов от строительства на участке в следующем периоде будет 0.9*270.000$ + 0.1*60.000$=249.000$. Однако мы не знаем, какую ставку дисконтирования использовать для оценки земли. Совсем не обязательно, что она будет такой же, как и для дома.

Можно избежать необходимости определения ставки дисконтирования для земли, используя подход оценки опционов. Участок земли в чём-то похож на опцион покупателя. Если инвестиции откладываются, и цена дома растёт, то опцион принесёт Cu= 270.000 $ в следующем году (стоимость 9-ти квартирного дома). Если отложить строительство, и цены на жильё упадут, то опцион принесёт Cd = 60.000$ в следующем году (стоимость 6-ти квартирного дома). Строительство не начинается, пока неизвестна цена дома в следующем году.

Можно придумать хеджированный портфель, который принесёт такие же доходы, как и участок земли, а потому такой портфель можно использовать для определения стоимости земли. В хеджированном портфеле - эквиваленте участка земли - дом будет играть ту же роль, что и акции в хеджированном портфеле - эквиваленте опциона покупателя. Пусть S - рыночная цена дома в настоящий момент. Сейчас квартиру в доме можно купить или продать за 100.000 $. Если использовать те же обозначения, что и для опционов на покупку акций, и представить все числа в тысячах долл., получим:

u=1.2; d=0.9; r= 1.12; S= 100 $; Cu = 270 $; Cd= 60$.

Чтобы составить хеджированный портфель, надо решить уравнение относительно А и В, что можно сделать, используя выражения:

A= (Cu - Cd)\S (u - d)= (270 $ - 60 $)\100 $*03 = 210 $\30 $ = 7 $

B=(uCd - dCu)\(u - d)*r = (72 $ - 243 $)\ 0.3*1.12= - 171 $\0.336 = - 508.93 $

Стоимость этого хеджированного портфеля можно найти:

C=AS +B=7*100 $ - 508.92 $ = $191.08

Найденная с помощью метода оценки опциона стоимость участка земли равна $191.080.

Заключение

На рынке ценных бумаг инвестор может купить опцион покупателя «колл», который даёт право приобрести акции через некоторое время в будущем по цене, определяемой сейчас. Иногда инвестиционные проекты включают в себя выбор - своего рода опцион, когда уже после одобрения проекта могут быть приняты важные решения, в результате которых стоимость проекта изменится.

Стоимость такого выбора можно найти с помощью моделей оценки опционов.

Биноминальная модель предполагает, что срок до исполнения опциона может быть разделён на ряд периодов, в каждом из которых возможны только два изменения цены. Преимущество разделения срока жизни опциона на множество подпериодов состоит в том, что это позволяет понять, что стоимость активов может иметь множество будущих значений. Можно рассматривать формулу Блека-Шоулза как быстрый способ решения, когда ряд таких подпериодов бесконечен, а следовательно, не ограничено и число будущих возможных цен актива.

Реальные опционы, встречающиеся в реальной практике, как правило, гораздо сложнее тех простых примеров, которые были рассмотрены в данной работе.

Опцион на осуществление последующих инвестиций. Компании, осуществляющие проекты с отрицательной чистой приведённой стоимостью, часто ссылаются на их «стратегическую» значимость. При ближайшем рассмотрении результатов проекта, помимо потоков денежных средств непосредственно от самого проекта, обнаруживается опцион «колл» на последующие проекты. Инвестиции сегодня могут создать благоприятные возможности завтра.

Теория опционов заставляет быть более внимательным к возможностям, которые могут возникнуть в будущем в результате сегодняшних действий, она даёт меньше шансов упустить из виду возможные стратегии принятия решений в будущем. Ещё одним преимуществом метода опционов является улучшенная процедура оценки. Процедуры определения стоимости опционов делятся на две группы. Чаще всего на рынке ценных бумаг используется арбитражная оценка. Для этого нужно найти реальные активы или группу активов, стоимость которых известна и с которыми можно осуществить сделки без покрытия на срок (держать короткие или длинные позиции), а затем сконструировать портфель, стоимость и денежные доходы которого соответствуют стоимости и доходам по опциону. Примером может послужить моделирование доходов по опциону покупателя на обыкновенные акции с помощью портфеля, состоящего из акций и надёжных облигаций. Метод арбитражной оценки успешно применяется в ситуациях, когда опцион - это производная ценная бумага, то есть стоимость опциона по контракту связана со стоимостью определённой ценной бумаги или нескольких ценных бумаг. Можно придумать арбитраж и для оценки недвижимости. Наиболее удачными оказались попытки использовать этот метод для оценки активов, применяемых для производства стандартных товаров массового спроса, рынок которых хорошо развит.

Оценка арбитражным методом, если его можно применить, точнее, чем оценка методом прогноза денежных потоков. Но арбитражную оценку трудно использовать для большинства промышленных инвестиций, так что если даже возможности выбора определены, их приходится оценивать с помощью расчёта текущей стоимости.

Денежные потоки, связанные с большинством реальных опционов сильно отличаются от денежных потоков по обычным инвестициям. Например, стоимость капитала, которую используют для дисконтирования при оценке опциона покупателя, из года в год меняется по мере изменения стоимости опциона. Кроме того, такие колебания увеличивают стоимость опциона, но принято считать, что они уменьшают стоимость традиционных инвестиций.

Если опцион необходимо оценить на основе анализа будущих денежных потоков, которые он сгенерирует, то получится огромное, возможно, бесконечное число стратегий. Стоимость опциона учитывает все эти стратегии.

Если у инвестиционного проекта есть черты опциона, то это нужно иметь в виду, решая приемлем ли проект. Если проект одобрен, важно будет правильно принимать оперативные решения, чтобы предоставленные возможности были использованы в нужный момент. Например, использовать возможности как только это становится прибыльным.

Список литературы

1. Инвестиции: Учебник/авторы: У.Ф. Шарп, Гордон Дж. Александр, Джефри Ф. Бейли; Москва, издательство ИНФРА-М, 1997 г.

2. Принципы корпоративных финансов: Учебник/авторы: Р. Брейли, С. Майерс; Москва, издательство Олимп-Бизнес, 1997 г.

3. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Теория и практика: Учебник/авторы: П.П. Виленский, В.Н. Лившиц, С.А. Смоляк; Москва, издательство Дело, 2001 г.

4. Организация и финансирование инвестиций: Учебник/автор: Я.С. Мелкумов; Москва, издательство ИНФРА-М, 2000 г.

5. Инвестиционная деятельность: Учебник/ под ред. Г.П. Подшиваленко, Н.В. Киселёвой; Москва, издательство КНОРУС, 2005.

6. Инвестирование: Учебное пособие/под ред. С.И. Абрамов; Центр экономики и маркетинга, Москва, 2000.

7. Инвестиции: Учебник/под ред. В.В. Ковалёва, В.В. Иванова, В.А. Лялина; Москва, ООО ТК «Велби».

8. Капиталовложения. Экономический анализ инвестиционных проектов: Учебник/авторы: Г. Бирман, С. Шмидт; Москва, издательство ЮНИТИ, 2003.

9. Биржевое обозрение, №6 (32) 2006, информационно-аналитический журнал.

10. Вопросы экономики №10. 2007, журнал; статья А. Суэтина «Определение стоимости производных финансовых инструментов»