Модели оценки опционов

Модели оценки опционов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Тема «Модели оценки опционов, их роль в инвестиционном процессе»

Омск 2007

Содержание

Введение

1. Понятие опционов

1.1 Сущность и виды опционов

1.2 Примеры «колл» - и «пут» опционов

2. Модели оценки стоимости опционов

2.1 Биноминальная модель

2.2 Хеджирование рыночного портфеля

2.3 Модель Блека - Шоулза

3. Применение моделей оценки опционов

3.1 Использование модели Блека - Шоулза

3.2 Роль опционов в инвестиционном процессе

Заключение

Список литературы

Введение

В 1973 году в Чикаго была основана опционная биржа. Она имела почти постоянный успех. В течение пяти лет инвесторы заключали опционные сделки на покупку или продажу более 10 млн. акций ежедневно.

Сегодня опционами торгуют на многих биржах. Кроме срочных сделок на покупку или продажу обыкновенных акций заключаются опционные контракты на фондовые индексы, на облигации, товары и иностранную валюту.

Торговля опционами является специализированным бизнесом и его участники пользуются своим особым языком. Они употребляют такие термины как опцион на покупку «колл» (call), опцион на продажу «пут» (put), «двойной» опцион, «бабочка», опцион «в деньгах», опцион «вне денег», «голый» опцион.

Многие инвестиционные предложения содержат опцион на покупку дополнительного оборудования на какую-либо дату в будущем. Например, компания может инвестировать средства в патент, который позволит ей использовать новую технологию или же она может приобрести соседние участки земли, что даст ей возможность расширить производство. В каждом случае компания платит деньги сегодня за возможность осуществить инвестиции в будущем. Компания приобретает возможности роста.

Например, вы думаете приобрести участок бесплодных земель, где, как известно, находится месторождение золота. К сожалению, стоимость добычи превышает текущую цену на золото. Означает ли это, что участок почти ничего не стоит? Нет, вам не обязательно добывать золото, но обладание участком даёт опцион на добычу. Если вы знаете, что цена на золото будет оставаться ниже затрат на разработку месторождения, тогда этот опцион не имеет ценности. Но если будущая цена на золото неизвестна, вы могли бы попытать счастья и разбогатеть.

В курсовой работе описывается сущность и виды опционов, модели оценки стоимости опционов и их роль в инвестиционном процессе.

1. Понятие опционов

1.1 Сущность и виды опционов

Существуют финансовые инструменты, которые сочетают в себе элементы акций и облигаций или являются настолько специфическими продуктами, что их нельзя отнести ни к той ни к другой категории. Такие инструменты получили название производных или специальных. Они охватывают прежде всего различные разновидности обратимых ценных бумаг. Обратимыми называются ценные бумаги, которые по желанию их владельцев в определённый период могут быть либо погашены, либо обменены на другие ценные бумаги. К числу обратимых ценных бумаг относятся опционы и некоторые другие. Производные фондовые ценности только удостоверяют право на ценные бумаги, но таковыми не являются.

Опционом называется контракт, заключённый между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому лицу право купить определённый актив по определённой цене в рамках определённого периода времени или предоставляет право продать определённый актив по определённой цене в рамках определённого периода времени. Лицо, которое получило опцион и таким образом приняло решение, называется покупателем опциона, который должен платить за это право. Лицо, которое продало опцион, и отвечающее на решение покупателя, называется продавцом опциона.

Наиболее распространённый опционный контракт - это опцион на акции.

Когда владелец опциона пользуется правом купить акции(активы), говорят, что он исполняет опцион (exercising an option); акции(активы), которые можно купить по опциону, называются предметом опциона (underlying asset). Цена сделки называется ценой исполнения («страйк») (exercise price, striking price). Опцион «в деньгах» - если цена акции больше цены исполнения; опцион «вне денег» - если цена акции меньше цены исполнения. Последний день, когда можно купить акции - это дата окончания срока контракта (maturity date). Противоположная сторона контракта называется надписателем (writer). Владелец имеет право купить акции(активы), а надписатель обязан продать их по требованию владельца.

Покупатель опциона имеет право на отказ от сделки. За предоставленную возможность выбора покупатель опциона платит продавцу премию.

С точки зрения сроков исполнения опционы подразделяются на:

· американский опцион, который может быть исполнен в любой день до истечения срока контракта или в этот день;

· европейский опцион, который осуществляется только в день истечения контракта.

Название опциона не зависит от места совершения сделки.

Существуют два вида опционов:

· опцион на покупку - «колл» (call)

· опцион на продажу «пут» (put)

Опцион «колл» предоставляет право его владельцу купить ценные бумаги, указанные в контракте, по установленной цене или отказаться от такой покупки.

Опцион «пут» даёт право продать ценные бумаги или отказаться от их продажи.

Инвестор приобретает опцион «колл», если ожидает повышения курса ценных бумаг и опцион «пут», если рассчитывает на их понижение.

При заключении сделок на рынке ценных бумаг лицо, приобретающее ценные бумаги открывает длинную позицию, при продаже бумаг - короткую позицию. Покупатель опциона занимает длинную позицию, продавец - короткую. В сделках с опционами возможны четыре позиции:

· длинная по опциону «колл»;

· длинная по опциону «пут»;

· короткая по опциону «колл»;

· короткая по опциону «пут»;

Существует большое разнообразие контрактов, имеющих черты опционов. Много разновидностей можно найти даже среди широко распространённых финансовых инструментов (например, право на льготную покупку акций и варрант). Однако только по отношению к определённым финансовым инструментам используют термин «опционы». Другие же инструменты, хотя и имеют похожую природу, именуются по-иному.

1.2 Примеры опционов «колл» и «пут»

Пример опциона колл

Инвестор купил европейский опцион «колл» на 100 акций компании А по контрактной цене 100 у.е. за акцию. Текущий курс акции в момент заключения контракта составляет 138 у.е. Контракт истекает через 3 месяца. Цена опциона(премия) за одну акцию составляет 5 у.е.

Таким образом, при заключении контракта покупатель опциона заплатил продавцу общую премию в размере 100 акций*5 у.е.=500 у.е.

На момент истечения срока контракта на рынке могут сложиться следующие ситуации:

1) курс акции остался ниже или равен 140 у. е. В этом случае инвестор не использует опцион, т.к. акции он мог бы приобрести на рынке также по цене 140 у.е. Его потери составят 500 у.е., затраченных на покупку опциона.

2) курс акций поднялся до 145 у.е. Инвестор исполнил опцион (т.е. купил акции по 140 у.е. и одновременно их продал по кассовой сделке). Его доход составил (145-140)*5=500 у.е. Но т.к. в качестве премии покупатель уже заплатил 500 у.е., общий итог по сделке для него равен нулю.

3) курс акций поднялся до 150 у. е. Инвестор исполнил опцион, т.е. ему согласно контракта были проданы 100 акций по цене 140 у.е., которые он тут же перепродал по цене 150 у.е. и получил прибыль от сделки в размере (150-140)*100-500=500 у.е.

Таким образом, инвестор получает прибыль, если курс акций превышает 145 у. е.и нулевой результат при курсе 145 у. е. При курсе 140 у. е. и ниже инвестор несёт потери в размере уплаченной премии 500 у. е. В случае если курс акции установится выше 140 у. е., но ниже 145 у. е. инвестор исполнит опцион чтобы уменьшить свои потери. Например, цена бумаги поднялась до 144 у. е. Потери инвестора составят 500 - (144-140)*100 акций=100 у. е.

Продавец опциона будет в выигрыше, если курс акций опустится ниже 145 у. е. Его максимальная прибыль составит 500 у. е. Однако возможные потери могут быть очень большими, если курс акций сильно поднимется. В приведённом примере не учтены комиссионные платежи. При заключении сделки они также учитываются и снижают прибыль инвестора.

Пример опциона пут

Инвестор приобретает европейский опцион «пут» на 100 акций компании А по цене исполнения 90 у. е. Текущий курс акций 88 у. е. Контракт истекает через три месяца. Премия за одну акцию 5 у. е. Следовательно, первоначальные затраты инвестора составят 500 у. е.

На день истечения контракта возможны следующие ситуации:

1) курс акций выше или равен 90 у. е. Опцион не используется и инвестор несёт потери.

2) курс акций снизился до 85 у. е. Инвестор покупает на рынке опцион по этому курсу и исполняет опцион, т.е. обязывает продавца опциона купить у него акции по курсу, предусмотренному в контракте (90 у. е.). В этом случае инвестор имеет нулевой результат: (90-85)*100-500=0;

3) курс акций ниже 85 у. е., например, 82 у. е. Опцион исполняется и инвестор получает прибыль: (90-82)*100-500=300 у. е.

4) курс акций выше 85 у. е., но ниже 90 у. е. Инвестор использует опцион, чтобы уменьшить свои потери. (90-89)*100-500=400 у. е. составят потери инвестора.

Продавец опциона получит прибыль, если курс акций будет выше 85 у. е. Её максимальный размер равен 500 у. е. Потери в случае сильного понижения курса ценных бумаг могут быть значительно больше.

2. Модели оценки стоимости опционов

2.1 Биноминальная модель

Это модель оценки опционов с одним периодом для случая, когда цена акции в следующем периоде может принимать только два значения. В следующем периоде акция, которая сейчас продаётся по цене S, будет продаваться либо по цене S, либо по цене uS, либо по цене dS, причём uS>dS. Величины u и d - это коэффициенты изменения цены акции. Имеется возможность выпустить или купить облигации на сумму В под процент rf, причём r определяется как r = 1+rf. Риск облигации равен нулю. Величина r больше d, но меньше u. Это условие необходимо для того, чтобы не было возможности без всякого риска получить прибыль только на операциях с акциями и облигациями. Например, если бы u и d были бы больше r, покупка акций на деньги, полученные от выпуска облигаций принесла бы гарантированную прибыль (без всякого риска). Никто не захотел бы покупать облигации. Кроме того, если бы r было бы больше u и d, инвестор, вложив свои деньги в облигации, с полной уверенностью получил бы более весомую прибыль, чем держатель акций. Никто не захотел покупать акции. Чтобы таких крайних случаев не было, предположим, что u>r>d. Представим себе опцион покупателя с ценой исполнения K, срок которого истекает через один период. Пусть C_стоимость опциона в момент 0. Наша цель рассчитать разумную величину C. Начнём с того, что запишем значения стоимости опциона в момент 1. Стоимость опциона к концу срока будет зависеть от цены акции в этот момент. Пусть С - стоимость опциона к концу срока, если цена акции в этот момент достигает uS:

Cu=max (Us - K, 0);

Аналогично пусть Сd - стоимость опциона к концу срока, если цена к этому времени снизится до dS:

Cd=max (dS-K, 0);

Чтобы определить стоимость опциона в момент 1 за один период до окончания срока, покажем, что доходы от опциона покупателя можно в точности промоделировать доходами от соответствующим образом выбранного портфеля акций и облигаций, который называется хеджированным портфелем. Так как опцион покупателя полностью эквивалентен портфелю, их стоимости должны быть одинаковы. Стоимость хеджированного портфеля можно определить, зная рыночные цены акций и облигаций, из которых он составлен. На этом основан расчёт стоимости опциона покупателя.

Формирование хеджированного портфеля

Допустим, инвестор в момент 0 хочет сформировать такой хеджированный портфель, чтобы в момент 1 доходы от него были равны доходам от опциона покупателя. Инвестор:

1. купит А обыкновенных акций по цене S за акцию.

2. купит облигации на сумму В долларов.

Стоимость облигаций через один период будет равна rB. Ставка% равна r_1.

Нужно найти такие В и А, чтобы доход от портфеля был таким же как от опциона покупателя (рис.).Доходы от опциона зависят от цены акций. Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции растёт, будет выполняться следующее равенство:

АuS + rB = Cu (1);

Рис. Денежные потоки от инвестиций в акции и облигации и от покупки опциона

а) купить АS акций; б) инвестировать сумму В в в) купить облигации (В отрицательно, опцион на если привлекается заёмный покупку капитал); обыкновенных акций.

Если доходы от хеджированного портфеля и от опциона одинаковы, а цена акции падает, будет выполняться равенство:

AdS+ rB = Cd (2);

Значения Cu и Cd в момент 1, когда закончится срок опциона известны, так как известны характеристики опциона и стоимость обыкновенных акций. Таким образом, имеем два уравнения с двумя неизвестными. Вычитая уравнение AdS+rB=Cd из AuS+rB=Cu, получим решение относительно u:

As (u-d)=Cu-Cd

Преобразуя, получим:

A=(Cu-Cd)\ S (u-d) (3);

Величина А называется коэффициентом хеджирования, она определяет, сколько обыкновенных акций нужно купить, чтобы получить такой же денежный доход, как и от покупки одного опциона.

Решаем уравнения 1 и 2 относительно В:

B= (uCd - dCu)\(u-d)*r (4)

Портфель, состоящий из одного опциона покупателя, в любом случае принесёт такой же доход, что и портфель из В облигаций и А обыкновенных акций. Поэтому в состоянии равновесия первоначальная стоимость обоих портфелей должна быть одинаковой. Для этого должно выполняться равенство:

C=AS+B(5).

Стоимость опциона покупателя С должна быть равна AS+B, иначе есть возможность получить на операциях с опционом спекулятивную прибыль.

Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона покупателя не было необходимости знать вероятности исходов u и d. Вероятности могут повлиять на стоимость опциона покупателя, но только косвенно. Если вероятность u велика, цена акции S, несомненно, выросла бы, и из уравнения (5) можно увидеть, что рост S увеличивает стоимость опциона С. Модель не показывает, как оценивать акции. Она показывает, как оценивать опционы покупателя, зная цену акции. Другими словами, цена опциона покупателя зависит от цены акции.

Кроме того, модель не требует, чтобы инвесторы договаривались о вероятности исхода u. Оптимистично настроенные по отношению к u инвесторы, возможно захотят обладать большим количеством акций (или опционов покупателя). Но при заданной цене акции, они придут к соглашению относительно цены опциона. Покажем, как только что описанная модель используется для формирования хеджированного портфеля и определения стоимости опциона покупателя при заданных условиях.

Пример.

S = 100 $; u = 1,5; d = 1,0; K = 120 $; rf = 0,10; r =1,10;

Cu = max (uS - K, 0) = max (150 $. - 120 $, 0) = 30 $;

Cd = max (dS - K, 0) = max (100 $ - 120 $, 0) = max (-20 $) = 0.

Срок опциона закончится через один период. Сейчас цена акций равна 100 $, а через один период цена будет или 150 $, или 100 $

uS = 1,5* 100 долл. = 150 $;

dS = 1,0*100 долл. = 100 $;

Если цена исполнения опциона 120 $, то стоимость опциона в конце периода будет либо 30 $(при цене акций 150 $), либо 0 (при цене акций 100 $). Чтобы найти А и В, воспользуемся уравнениями (3) и (4):

Так как (u-d) = 0.5 и Cu - Cd = 30 $, то

A = (Cu - Cd)\(u - d)*S = 30 $ /0.5*100 $;

B= (uCd - dCu)\(u-d)*r = (-1)*30 $/0.5 (1.1) = (-60)$/1.1 = (-54.55)$;

Отрицательное значение B показывает, что следует использовать заёмный капитал. На каждый опцион следует купить 0.6 обыкновенных акций на сумму 0.6*100 $ = 60 $ и взять заём 60 $/(1.1) = 54.55 $(в период 1 в счёт погашения долга будет уплачено 60 $).

Если произойдёт событие u, то стоимость портфеля будет:

Доход по опциону будет либо 30 $, либо 0 $. Первоначальная стоимость опциона равна:

C = AS + B = 60 $ - 54.55 $ = 5.45 $.

0.6 акций стоят 60 $, из них 54.55 $ взяты в долг под 10%.

Вне зависимости от того, какое из двух событий произойдёт, инвестор в период 1 получит такую же сумму, как если бы он купил опцион покупателя.

Если опцион продаётся на рынке по цене, отличной от 5.45 $, инвестор, знающий как формировать хеджированный портфель, может без всякого риска получить прибыль на арбитражных сделках. Например, пусть опцион продаётся за 10 $. Так как цена опциона завышена, инвестор будет заключать арбитражные сделки, продавая опционы покупателя. Человек, продающий опционы покупателя, обязан купить акцию или иметь её - ведь акции нужно будет отдать. Чтобы гарантировать себе прибыль, арбитражер купит 0.6 обыкновенных акций и возьмёт в долг 54.55 $ в момент продажи опциона покупателя. В период 0 денежные потоки будут такими:

(- 60)$ + 54.55 $ + 10 $ = 4.55 $

В период 1 арбитражер продаст акции, вернёт долг, и, если опцион исполнен, купит акцию на рынке и отдаст её в обмен на цену исполнения. Если цена акции поднимется, то опцион будет исполнен, и денежный поток в период 1 будет таковым:

1.5*60 долл. - 1.1*54.55 долл. - 1.5*100 долл. + 120 долл. = 90 $ - 60 $ - 150 $ + 120 $ = 0.

Если цена акции составит 100 $, опцион покупателя не будет исполнен и арбитражер продаст акцию и использует полученные деньги на уплату долга. В этом случае денежные потоки в период 1 будут: 60 $ - 60 $ = 0

Следовательно, если цена опциона завышена, то арбитражер может продавать опционы покупателя и без всякого риска получать гарантированную прибыль, равную разнице между рыночной ценой и чистыми расходами на покупку хеджированного рыночного портфеля. Если цена опциона меньше расходов на покупку хеджированного рыночного портфеля, то арбитражер заключит сделки, противоположные только что описанным: продаст 0.6 обыкновенных акций заджированного рыночного портфеля, то арбитражер заключит суделки противоположные только что описанным 60$, выпустит облигации на сумму 54.55$ под 10% купит опцион покупателя. Денежные потоки за период 0 будут равны разнице между истинной стоимостью опциона покупателя и его рыночной ценой, а денежные потоки за период 1 сведутся к нулю.

Короче говоря, у арбитражера есть возможность получить гарантированную прибыль, если только цена опциона отличается от чистых расходов на покупку аналогичного хеджированного портфеля. Арбитражеры продают опционы покупателя, когда цена этих опционов завышена, и покупают их, когда их цена занижена. Тем самым они не дают рыночной цене опциона отклоняться от рыночной стоимости эквивалентного хеджированного портфеля. Такой подход к оценке опциона покупателя известен под названием арбитражной оценки. Если бы мы исследовали случай с несколькими периодами, портфель (акции, облигации и опционы) нужно было бы скорректировать: в нём должно быть столько ценных бумаг каждого вида, чтобы портфель всегда был хеджированным. Если периоды времени сокращаются, и операции совершаются непрерывно, то мы приходим к модели оценки опционов Блека - Шоулза.

2.2 Модель Блека - Шоулза

Модель Блека - Шоулза коренным образом изменила подход к анализу опционов; она позволила отойти от субъективно - интуитивных оценок при определении цены опционов и подвести под неё теоретическую базу.

Блек и Шоулз первыми осознали возможность интерпретировать акцию как опцион на отдельно взятую фирму. По истечении срока кредита, если стоимость фирмы будет меньше номинальной стоимости долга, акционеры имеют право, но не обязательство, погасить кредит. В результате стало возможным использовать данный метод для оценки акций, что важно, если они не торгуются. Блек и Шоулз сделали ряд исходных предположений, над проверкой значимости которых работают многие исследователи. Среди этих постулатов такие:

1. Можно оценить колеблемость (среднеквадратическое отклонение доходности акций(актива));

2. Существует постоянная во времени ставка процента по безрисковым вложениям;

3. Расходов на заключение сделки нет; при заключении сделок без покрытия на срок (сделок с короткой позицией) продавец получает деньги сразу;

4. Налоги не имеют значения;

5. Дивидендов нет;

6. Цена обыкновенной акции случайная величина; цена на период Т имеет логарифмически нормальное распределение.

В основе формулы Блека-Шоулза лежит предположение, что существует такая экономическая среда, в которой арбитражеры могут с точностью воспроизвести будущие доходы по опциону покупателя с помощью хеджированного портфеля, состоящего из акций и облигаций. Они рассчитали, какой должна быть стоимость опциона покупателя, чтобы гарантированная прибыль от арбитражных сделок была невозможной. Модель Блека - Шоулза оценивает так называемую справедливую стоимость опциона. Учитывая историю акции(актива) и вычисляя вероятность будущей цены опциона, можно рассчитать текущее справедливое значение его цены. Модель определяет возможное будущее значение цены базисного актива. Придавая вероятности будущим значениям цены базисного актива, модель позволяет включить эти вероятности в цену.

Страницы: 1, 2