Нечеткие множества в системах управления

соответствие минимальный из "весов" его составляющих. Затем определяем

максимум по всем путям из xi в zj, который и дает искомое ?(xi,zj).

[pic]

[pic]

Свойства max-min композиции

Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.

R3•(R2•R1) = (R3•R2 )•R1,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относительно

пересечения:

R3•(R2? R1) = (R3•R2)? (R3•R1),

R3•(R2? R1)?(R3• R2)?(R3• R1).

Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее важное свойство:

если R1?R2 то, R•R1 ?R•R2.

(max-*) - композиция

В выражении ?R1•R2(x, z) = [pic][?R1(x, y)??R2(y, z)] для (max-min)-

композиции отношений R1 и R2 операцию ? можно заменить любой другой, для

которой выполняются те же ограничения, что и для ?: ассоциативность и

монотонность (в смысле неубывания) по каждому аргументу. Тогда:

?R1•R2(x, z) = [pic][?R1(x, y)*?R1(y, z)]

В частности, операция ? может быть заменена алгебраическим умножением,

тогда говорят о (max - prod)-композиции.

Обычное подмножество ? - уровня нечеткого отношения

Обычным подмножеством ? - уровня нечеткого отношения R называется четкое

(обычное) отношение R? такое, что

?R1(x,y) = [pic]

Очевидно, что из ?1? ?2 следует R?1 ? R?2.

Теорема декомпозиции

Любое нечеткое отношение R представимо в форме:

R = [pic]??R?, 0[0,1], т.е. для каждой пары (x,y)?XЧY задано значение

функции принадлежности ?R(x,y)?[0,1].

Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х, т.е. определена

функция принадлежности ?A(x) для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и

нечеткое отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией

принадлежности

?B(y) = [pic]min[?A(x), ? R(x,y)] = [pic][? A(x)? ?R(x,y)].

Обозначение: B = A•R.

Пример:

Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4} и заданы нечеткое отношение

| | |y1 |y2 |y3 |y4 |

|XRY = | | | | | |

| |x1|0,8|1 |0 |0,3|

| |x2|0,8|0,3|0,8|0,2|

| |x3|0,2|0,3|0 |0,4|

и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.

Проведем операцию ? для А и столбца y1 :

|x1 |L |y1 |= |y1 |= |y1 |

|x2 | | | | | | |

|x3 | |0,8 | |0,3?0,8 | |0,3 |

| | | | | | | |

|0,3 | |0,8 | |0,7?0,8 | |0,7 |

|0,7 | | | | | | |

|1 | |0,2 | |1?0,2 | |0,2 |

| | | | | | | |

После выполнения операции V на элементах полученного столбца имеем:

?B(y1) = 0,3V0,7V0,2 = 0,7.

Проделав аналогичные вычисления для y2, y3, y4 имеем:

?B(y2) = 0,3

?B(y3) = 0,7

?B(y4) = 0,4.

И окончательно:

|A | |R | |B |

|0,3 |·|0,8 |= |0,7 |

|0,7 | |1 | |0,3 |

|1 | |0 | |0,7 |

| | |0,3 | |0,4 |

| | | | | |

| | |0,8 | | |

| | |0,3 | | |

| | |0,8 | | |

| | |0,2 | | |

| | | | | |

| | |0,2 | | |

| | |0,3 | | |

| | |0 | | |

| | |0,4 | | |

| | | | | |

Замечание. При заданном R, если А индуцирует В, то ближайшее четкое

подмножество А индуцирует В.

Нечеткие подмножества последовательно обуславливающие друг друга

Если

А1 индуцирует А2 посредством R1,

А2 индуцирует А3 посредством R2,

.............................................

Аn-1 индуцирует Аn посредством Rn-1,

то

А1 индуцирует Аn посредством Rn-1•Rn-2• ...•R1,

где Rn-1•Rn-2• ...•R1 - определенная выше композиция нечетких отношений R1,

R2, ..., Rn.

Пример:

Вернемся к примеру (max-min)-композиции.

|R1 |·|R2 |= |R1•R2 |

| | | | | |

|y1 | |z1 | |z1 |

|y2 | |z2 | |z2 |

|y3 | |z3 | |z3 |

| | |z4 | |z4 |

|x1 | | | | |

|0,1 | |y1 | |x1 |

|0,7 | |0,9 | |0,3 |

|0,4 | |0 | |0,6 |

| | |1 | |0,1 |

|x2 | |0,2 | |0,7 |

|1 | | | | |

|0,5 | |y2 | |x2 |

|0 | |0,3 | |0,9 |

| | |0,6 | |0,5 |

| | |0 | |1 |

| | |0,9 | |0,5 |

| | | | | |

| | |y3 | | |

| | |0,1 | | |

| | |1 | | |

| | |0 | | |

| | |0,5 | | |

| | | | | |

Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2 }, тогда

|А1 | |R1 | |А2 |

|0,3 |·|0,1 |=|0,7 |

|0,7 | |0,7 | |0,5 |

| | |0,4 | |0,3 |

| | | | | |

| | |1 | | |

| | |0,5 | | |

| | |0 | | |

| | | | | |

| | | | | |

|А2 | |R2 | |А3 |

|0,7 |·|0,9 |=|0,7 |

|0,5 | |0 | |0,5 |

|0,3 | |1 | |0,7 |

| | |0,2 | |0,5 |

| | | | | |

| | |0,3 | | |

| | |0,6 | | |

| | |0 | | |

| | |0,9 | | |

| | | | | |

| | |0,1 | | |

| | |1 | | |

| | |0 | | |

| | |0,5 | | |

| | | | | |

| | | | | |

|А1 | |R1•R2 | |А3 |

|0,3 |·|0,3 |=|0,7 |

|0,7 | |0,6 | |0,5 |

| | |0,1 | |0,7 |

| | |0,7 | |0,5 |

| | | | | |

| | |0,9 | | |

| | |0,5 | | |

| | |1 | | |

| | |0,5 | | |

| | | | | |

| | | | | |

Немного о бинарных отношениях вида XRX

Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией принадлежности ? R(x,y), но с

условием, что x и y - элементы одного и того же универсального множества. В

зависимости от своих свойств (основные - симметричность, рефлексивность,

транзитивность) конкретные нечеткие отношения задают отношения сходства и

различия, порядка или слабого порядка между элементами Х. Они имеют

обширную сферу приложений в задачах автоматической классификации и принятия

решений (сравнение альтернатив).

3. НЕЧЕТКАЯ И ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ПЕРЕМЕННЫЕ

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при описании

объектов и явлений с помощью нечетких множеств.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой , где

? - наименование переменной,

X - универсальное множество (область определения ?),

A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. ? A(x)) на

значения нечеткой переменной ?.

Лингвистической переменной называется набор , где

? - наименование лингвистической переменной;

Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих собой

наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых

является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством

лингвистической переменной;

G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-

множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T?

G(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным

терм-множеством лингвистической переменной;

М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое новое значение

лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую переменную,

т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.

Замечание. Чтобы избежать большого количества символов

символ ? используют как для названия самой переменной, так и для всех ее

значений;

пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого множества и

его названия, например терм "молодой", являющийся значением лингвистической

переменной ? = "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М

("молодой").

Присвоение нескольких значений символам предполагает, что контекст

позволяет разрешить возможные неопределенности.

Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помощью

понятий "малая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом

минимальная толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.

Формализация такого описания может быть проведена с помощью следующей

лингвистической переменной , где

? - толщина изделия;

T - {"малая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"};

X - [10, 80];

G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и

модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например: "малая или

средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;

М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая

толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких

множеств для термов из G(T) в соответствии с правилами трансляции нечетких

связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка" и др. операции

над нечеткими множествами вида: А ? В, А? В, [pic], CON А = А2 , DIL А =

А0,5 и др.

Замечание. Наряду с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической

переменной "толщина" (Т={"малая толщина", "средняя толщина", "большая

толщина"}) возможны значения, зависящие от области определения Х. В данном

случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть

определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде

нечетких чисел.

Продолжение примера:

[pic]

Функции принадлежности нечетких множеств:

"малая толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3 .

[pic]

Функция принадлежности:

нечеткое множество "малая или средняя толщина" = А1?А1.

Нечеткие числа

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е.

нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве

действительных чисел R с функцией принадлежности ?A(x)?[0,1], где x -

действительное число, т.е. x?R.

Нечеткое число А нормально, если [pic]?A(x)=1, выпуклое, если для любых

x?y?z выполняется

?A(x)??A(y)??A(z).

Множество ? - уровня нечеткого числа А определяется как

А? = {x/? A(x)??}.

Подмножество SA?R называется носителем нечеткого числа А, если

S = {x/?A(x)>0}.

Нечеткое число А унимодально, если условие ?A(x) = 1 справедливо только для

одной точки действительной оси.

Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если

?A(0) = [pic](?A(x)).

Нечеткое число А положительно, если ?x?SA, x>0

и отрицательно, если ?x?SA, x0, ?>0 - левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимодальное)

задается тройкой А = (а, ?, ?).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четверкой параметров

А=(а1, a2, ?, ?), где а1 и a2 - границы толерантности, т.е. в промежутке

[а1,a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа приведены

ниже.

[pic]

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами; отметим, что в

конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также параметры ?, ? нечетких

чисел (а, ?, ?) и (а1, a2, ?, ? ) должны подбираться таким образом, чтобы

результат операции (сложения, вычитания, деления и т.д.) был точно или

приблизительно равен нечеткому числу с теми же L(y) и R(y), а параметры ?'

и ?' результата не выходили за рамки ограничений на эти параметры для

исходных нечетких чисел, особенно если результат в дальнейшем будет

участвовать в операциях.

Замечание. Решение задач математического моделирования сложных систем с

применением аппарата нечетких множеств требует выполнения большого объема

операций над разного рода лингвистическими и другими нечеткими переменными.

Для удобства исполнения операций, а также для ввода-вывода и хранения

данных, желательно работать с функциями принадлежности стандартного вида.

Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач,

являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из возможных

методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является аппроксимация

с помощью функций (L-R)-типа.

Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических переменных:

|Терм ЛП |(L-R)-представлен|Графическое |

| |ие |представление |

|Средний |А = (а, ?, ?)LR |a b |

| |? = ?>0 | |

|Малый |А = (а, ?, ?)LR |? = ? ? |

| |? = ? | |

|Большой |А = (а, ?, ?)LR |? ? = ? |

| |?=? | |

|Приблизительно в |А = (а1, а2, ?, |? ? |

|диапазоне |?)LR |a1 a2 |

| |? = ?>0 | |

|Определенный |А = (а, 0, 0)LR |? = 0 ? = 0 |

| |? = ? = 0 | |

|Разнообразный |А = (а, ?, ?)LR |? = ? = ? |

|зона полной |? = ? = ? | |

|неопределенности | | |

4. НЕЧЕТКИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида:

Высказывание , где ? - наименование лингвистической переменной,

?' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на

универсальном множестве Х.

Например высказывание предполагает, что лингвистической

переменной "давление" придается значение "большое", для которого на

универсальном множестве Х переменной "давление" определено соответствующее

данному значению "большое" нечеткое множество.

Высказывание , где m - модификатор, которому соответствуют

слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "МНОГО БОЛЬШЕ" и др.

Например: , и др.

Составные высказывания, образованные из высказываний видов 1. и 2. и союзов

"И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".

Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной

То, что значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют

нечетким множествам одного и того же универсального множества Х, позволяет

отождествлять модификаторы "очень" или "не" с операциями "CON" и

"дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение"

над нечеткими множествами .

Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера

рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-

множеством Т = {"малая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы

определили нечеткие множества А1, А2, А3, соответствующие базовым

значениям: "малая", "средняя", "большая".

В этом случае высказыванию соответствует

нечеткое множество CONA = A2; высказыванию - нечеткое множество А2?[pic] высказыванию А1?[pic].

Высказывания или требуют использования нечетких отношений R ("много

больше,чем") и R ("близко к"), заданных на ХЧХ. Тогда этим высказываниям

будут соответствовать нечеткие множества A•R1 и A•R2, индуцированные

нечеткими отношениями R1 и R2.

Случай двух и более лингвистических переменных

Пусть и - лингвистические переменные,

и высказываниям , соответствуют нечеткие множества

А и В заданные на X и Y.

Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения

лингвистических переменных ? и ?, можно привести к высказываниям вида 1,

введя лингвистическую переменную (?, ?), значениям которой будут

соответствовать нечеткие множества на XЧY.

Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y, порождают на XЧY

нечеткие множества [pic]и [pic], называемые цилиндрическими продолжениями,

с функциями принадлежности:

[pic](x,y) = ?A(x) при любом y,

[pic](x,y) = ?B(y) при любом x,

где (x,y) XЧY.

Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям

и

,

определяются по следующим правилам (преобразования к виду 1), справедливым

при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y таковы, что

их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.

Правила преобразований нечетких высказываний

Правило преобразования конъюнктивной формы

Справедливо выражение:

?.

Здесь ? - знак подстановки, ?'??' - значение лингвистической переменной (?,

?), соответствующее исходному высказыванию ,

которому на XЧY ставится в соответствие нечеткое множество [pic]? [pic]c

функцией принадлежности

[pic](x,y) = [pic](x,y)?[pic](x,y) = ?A(x)??B(y).

Правило преобразования дизъюнктивной формы

Справедливо выражение:

?, где значению (?'??')

лингвистической переменной (?, ?) соответствует нечеткое множество

[pic]?[pic], с функцией принадлежности

[pic](x,y) = [pic](x,y)V[pic](x,y) = ?A(x)V?B(y).

Замечание 1. Правила справедливы также для переменных вида и , когда в форме значений лингвистических

переменных формализованы невзаимодействующие характеристики одного и того

же объекта. Например, для построения нечеткого множества высказывания нужно использовать правило конъюнктивной формы, а

для высказывания - правило дизъюнктивной

формы.

Замечание 2. Если задана совокупность лингвистических переменных {}, i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное

из высказываний с использованием модификаторов "очень", "не",

"более или менее" и др. и связок "и", "или", можно привести к виду , где ? - составная лингвистическая переменная (?1,?2,..,?n ), ?' - ее

значение, определяемое (как и функция принадлежности) в соответствии с

вышеуказанными правилами.

Правило преобразования высказываний импликативной формы

Справедливо выражение:

? ?')>, где значению (?'>?')

лингвистической переменной (?, ?) соответствует нечеткое отношение XRY на

XЧY.

Функция принадлежности ?R(x,y) зависит от выбранного способа задания

нечеткой импликации.

Способы определения нечеткой импликации

Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y, содержащие

конечное число элементов. Под способом определения нечеткой импликации

"если А, то В" (где А и В нечеткие множества на X и Y соответственно) будем

понимать способ задания нечеткого отношения R на XЧY, соответствующего

данному высказыванию.

С целью обоснованного выбора определения нечеткой импликации, японскими

математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено исследование всех

известных по литературе определений (плюс предложенные авторами).

Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для

высказывания "если А, то В":

Rm = (AЧB)?([pic]ЧY)

?Rm(x,y) = (?A(x)? ?B(y)) V (1 - ?A(x));

Ra = ([pic]ЧY)?(XЧB)

?Ra(x,y) = 1 ? (1-?A(x) + ?B(y));

Rc = AЧB

?Rc(x,y) = ?A(x)? ?B(y);

Rs = AЧY[pic]XЧB

?Rs(x,y) = [pic];

Rg = AЧY[pic]XЧB

?Rg(x,y) = [pic];

Rsg = ( AЧY[pic]XЧB ) ? ( [pic])

[pic];

Rgg = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rgs = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rss = ( AЧY[pic]XЧB) ? ([pic])

[pic];

Rb = ([pic]ЧY)?(XЧB)

?Rb(x,y) = (1-?A(x)) ? ?B(y);

R? = AЧY[pic]XЧB

[pic];

R• = AЧY[pic]XЧB

[pic]

R* = AЧY[pic]XЧB

?R*(x,y) = 1 - ?A(x)+ ?A(x)? ?B(y);

R# = AЧY[pic]XЧB

?R#(x,y)=( ?A(x)? ?B(y))? ((1 - ?A(x)) ?(1 - ?B(y)) ?(?B(y) ?(1 - ?A (x));

R? = AЧY[pic]XЧB

[pic]

Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с использованием

(max-min)-композиции.

В качестве значений на входе системы рассматривались:

A' = A;

A' = "очень А"= А2 , ?A0,5(x) = ?A(x)2 ;

A' = "более или менее А" = А0,5 ?A0,5(x)= ?A(x)0,5;

A' = ?A(x)0,5, [pic](x) = 1 - ?A (x).

Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ "0" означает выполнение

соответствующей схемы вход-выход, символ "x" - невыполнение. Следствие

"неизвестно" (Н) соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить

никакой информации об y".

В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая -"Следствие".

|1 |NB |NB или NM |PB |

|2 |NB или NM |NS |PM |

|3 |NS |PS или NO |PM |

|4 |NO |PB или PM |PM |

|5 |NO |NB или NM |NM |

|6 |PO или ZO |NO |NO |

|7 |PO |NB или NM |PM |

|8 |PO |PB или PM |NM |

|9 |PS |PS или NO |NM |

|10 |PB или PM |NS |NM |

|11 |PB |NB или NM |NB |

|12 |NO |PS |PS |

|13 |NO |NS |NS |

|14 |PO |PS |PS |

|15 |PO |PS |NS |

Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими подмножествами на

шкалах X, Y, Z следующей таблицей:

|-6 |-5 |-4 |-3 |-2 |-1 |0 |+1 |+2 |+3 |+4 |+5 |+6 | |PB | | | | |

| | | | | |0,3 |0,7 |1 | |PM | | | | | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,7

|0,3 | |PS | | | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | |PO | | | |

| |0,3 |1 |0,7 |0,3 | | | | | |NO | | | | |0,3 |0,7 |1 |0,3 | |

| | | | |NS | | |0,3 |0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | | | | | |NM |0,3

|0,7 |1 |0,7 |0,3 | | | | | | | | | |NB |1 |0,7 |0,3 | | | | |

| | | | | | |То есть области значений входных переменных PE, CPE и

выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными

отрицательными и положительными значениями этих переменных.

Приведем управляющие правила к виду: "если (АiЧ Вi ), то Сi", где (АiЧВi)

декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с

функцией принадлежности

[pic](x,y)= ?Ai(x)??Bi(y),

определенной на XЧY.

Для каждого из правил вида "если (АiЧВi ), то Сi", где (АiЧВi)- входное

нечеткое множество, а Сi - соответствующее нечеткое значение выхода,

определялось нечеткое отношение

Ri=(АiЧВi)ЧСi, i = 1, 2, ..., 15

с функцией принадлежности

?Ri((x,y),z)= (?Ai(x)??Bi(y))??Ci(z).

Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение

R = [pic]Ri

с функцией принадлежности

?R(x,y,z) = [pic]?Ri((x,y),z).

При заданных значениях А', В' входных переменных регулирующее значение С'

входной переменной определялось на основе композиционного правила вывода:

С' = (А'ЧВ')[pic]R,

где [pic]- (max-min)-композиция.

Функция принадлежности С' имеет вид:

?C'(z) = [pic][pic](?A'(x) ? ?B' (y)) ? ?R(x,y,z).

Числовое значение z0 (изменение подаваемого тепла) определяется при этом

либо из условия ?C'(z0) = [pic]?C' (z),

либо по формуле

z0 = [pic],

где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).

Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично. Результаты

практического использования показали, что разработанная нечеткая модель

управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.

Появление первых работ по построению моделей нечеткого логического

управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов, касающихся

логических основ моделей, в их числе:

о полноте и непротиворечивости совокупности правил управления;

об адекватности представления правил управления вида "если А, то В"

нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;

о правильности способа вывода, основанного на (max-min)-композиции и

возможности использования других видов операции композиции.

Полнота и непротиворечивость правил управления

Наиболее часто требование полноты для системы "если Аi, то Вi", i=1,2,..,n,

сводится к

X = [pic]Supp Ai,

где Supp Ai - носитель нечеткого множества Ai. Содержательно это означает,

что для каждого текущего состояния х процесса существует хотя бы одно

управляющее правило, посылка которого имеет ненулевую степень

принадлежности для х.

Непротиворечивость системы управляющих правил чаще всего трактуется как

отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или

взаимоисключающие следствия.

Степень непротиворечивости i-го и k-го правил можно задавать величиной

Cik = |[pic] (?Ai(x)? ?Ak(x)) - [pic](?Bi(y)? ?Bk (y))|.

Суммируя по k, получаем оценку непротиворечивости i-го правила в системе:

Ci = [pic]Cik, 1

Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то правило из

системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели управляющей

системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:

+ правила |1 |2 |3 |4 |5 |6 |7 |8 |9 |10 |11 |12 |13 |14 |15 | |Ci |2,4

|3,4 |4,2 |3,8 |4,2 |1,8 |4,5 |3,5 |4,0 |3,9 |1,7 |3,3 |4,1 |3,7 |3,3 |

|Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается всего три

правила 1, 6 и 11.

Литература

Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию

приближенных решений. М.:Мир, 1976.

Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.

Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под

ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.

Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т., Асаи К., Сугэно М: Мир,

1993.

Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения / Под ред.

Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.

Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации.

М.: Наука, 1981.

Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решений на основе

нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/ "Зинатне", 1990.

Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели для экспертных

систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы

с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в расплывчатых условиях //

Вопросы анализа и процедуры принятия решений. / М.: Мир,1976.

Страницы: 1, 2, 3