Нечеткие множества в системах управления

Ф(A, K) = [pic]?A (x)K(х),

где ?A(x)K(х) - произведение числа на нечеткое множество.

Пример:

E = {1,2,3,4};

A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;

K(1) = 1/1+0,4/2;

K(2) = 1/2+0,4/1+0,4/3;

K(3) = 1/3+0,5/4;

K(4) = 1/4.

Тогда

Ф(A,K) = ?A(1) K(1) ??A(2)K(2) ??A(3)K(3) ??A(4)K(4) =

= 0,8(1/1+0,4/2) ? 0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =

= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.

Четкое множество ?-уровня (или уровня ?). Множеством ?-уровня нечеткого

множества A универсального множества E называется четкое подмножество A?

универсального множества E, определяемое в виде:

A? ={x/? A(x)??}, где ??1.

Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2 + 0,5/x3 + 1/x4 ,

тогда A0.3 = {x3,x4},

A0.7 = {x4}.

Достаточно очевидное свойство: если ?1 ??2 , то A?1? A?2 .

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разложимо по его

множествам уровня в виде:

A = [pic]?A ?, где ?A? - произведение числа ? на множество A, и ?

"пробегает" область значений M функции принадлежности нечеткого множества

A.

Пример: A = 0,1/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4 представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) ? 0,7(0,0,1,1,) ? 1(0,0,0,1)=

= (0,1/x1 + 0/x2 + 0,1/x3 + 0,1/x4)? (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)?

?(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4) = 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .

Если область значений функции принадлежности состоит из n градаций ?1? ?2?

?3? ...? ?n, то A (при фиксированных значениях градаций) представимо в

виде:

A = [pic]?iA?i,

т.е. определяется совокупностью обычных множеств { A?1, A?2, ..., A?i}, где

A?1 ?A?2? , ..., ?A?i.

Расстояние между нечеткими множествами, индексы нечеткости

Пусть A и B - нечеткие подмножества универсального множества E. Введем

понятие расстояния ?(A, B) между нечеткими множествами. При введении

расстояния обычно предъявляются следующие требования:

?(A, B) ? 0 - неотрицательность;

?(A, B) = ?(B, A) - симметричность;

?(A, B) < ?(A, C) + ?(C, B).

К этим трем требованиям можно добавить четвертое: ?(A, A) = 0.

Определим следующие расстояния по формулам:

Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):

?(A, B) = [pic]|?A(xi) - ?B(xi)| .

Очевидно, что ?(A, B)?[0, n].

Евклидово или квадратичное расстояние:

?(A, B) = [pic], ?(A, B)?[0, [pic]].

Относительное расстояние Хемминга:

?(A, B) = [pic][pic], ?(A, B)?[0,1].

Относительное евклидово расстояние:

?(A, B)=[pic][pic], ?(A, B)?[0,1].

Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае когда E бесконечно,

определяются аналогично с условием сходимости соответствующих сумм:

если E счетное, то

?(A, B) = [pic]|?A(xi) - ?B(xi)| ,

?(A, B) = [pic];

если E = R (числовая ось), то

?(A, B) = [pic],

?(A, B) = [pic].

Замечание. Здесь приведены два наиболее часто встречающихся определения

понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств можно ввести и другие

определения понятия расстояния.

Перейдем к индексам нечеткости или показателям размытости нечетких

множеств.

Если объект х обладает свойством R (порождающим нечеткое множество A) лишь

в частной мере, т.е.

0 0,5;

?A(x)- любое при ?B(x) = 0,5.

d(A) = d([pic]) - симметричность по отношению к 0,5.

d(A?B)+d(A?B) = d(A)+d(B).

Замечание. Приведенная система аксиом при введении конкретных показателей

размытости часто используется частично, т.е., например, ограничиваются

свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства усиливаются или ослабляются

в зависимости от решаемой задачи.

Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости), которые можно

определить, используя понятие расстояния.

Обычное множество, ближайшее к нечеткому

Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое обычное множество A?E является

ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом расстоянии от

нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A, является

подмножеством с характеристической функцией:

[pic].

Обычно принимают ?A(xi) = 0, если ?A(xi) = 0,5.

Используя понятие обычного множества, ближайшего к нечеткому, введем

следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.

Линейный индекс нечеткости:

[pic]

Здесь ?(A, A) - линейное (хеммингово) расстояние, множитель -

[pic]обеспечивает выполнение условия 0Y называют отображением, значение f(x)?Y, которое она

принимает на элементе x?X, обычно называют образом элемента x.

Образом множества А?Х при отображении с>Y называют множество f(A)?Y тех

элементов Y, которые являются образами элементов множества А.

Замечание. Мы напомнили классическое определение отображения, которое в

теории нечетких множеств принято называть четким отображением, т.к. наряду

с ним мы введем понятие нечеткого отображения (или нечеткой функции).

Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная на X со

значением в Y, если она каждому элементу x?X ставит в соответствие элемент

y?Y со степенью принадлежности ?f(x,y). Нечеткая функция f определяет

нечеткое отображение f:X[pic]Y.

Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком f:X>Y или

нечетком f:X[pic]Y отображении для любого нечеткого множества А, заданного

на Х, определяется нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.

Пусть f:X>Y заданное четкое отображение,

а A = {?A(x)/х}- нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f

является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

?f(A)(y) = [pic]?A(x); y?Y,

где f -1(y)={x/f(x)=y}.

В случае нечеткого отображения f:X[pic]Y, когда для любых x?X и y?Y

определена двуместная функция принадлежности ?f(x,y), образом нечеткого

множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y с

функцией принадлежности:

?f(A)(y) = [pic]min(?A(x), ?f(x,y)).

Замечание. Мы не приводим примеров использования принципа обобщения.

Предлагаем подумать, каким образом можно определить нечеткое число и как с

помощью принципа обобщения (не забывая декартова произведения) и

классических операций возведения числа в степень(одноместная), сложения и

умножения (двуместные) получать соответствующие нечеткие результаты. К

нечетким отображениям мы вернемся, когда будем рассматривать понятие

нечеткого отношения.

2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ

Пусть Е = Е1ЧЕ2Ч ...ЧЕn - прямое произведение универсальных множеств и М -

некоторое множество принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное

отношение определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои

значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким отношением R между

множествами X = Е1 и Y = Е2 будет называться функция R:(X,Y)> [0,1],

которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)?XЧY величину

?R(x,y) ?[0,1]. Обозначение: нечеткое отношение на XЧY запишется в виде:

x?X, y?Y: xRy. В случае, когда X = Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое

отношение R: XЧX>[0,1] называется нечетким отношением на множестве X.

Примеры:

Пусть X = {x1,x2,x3}, Y = {y1,y2,y3,y4}, М = [0,1]. Нечеткое отношение

R=XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

| |y|y2|y3|y4|

| |1| | | |

|x1|0|0 |0,|0,|

| | | |1 |3 |

|x2|0|0,|1 |0,|

| | |8 | |7 |

|x3|1|0,|0,|1 |

| | |5 |6 | |

Пусть X = Y = (-[pic], [pic]), т.е. множество всех действительных чисел.

Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:

[pic]

Отношение R, для которого ?R(x,y) = e-k(x-y)2, при достаточно больших k

можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к другу числа".

В случае конечных или счетных универсальных множеств очевидна интерпретация

нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором пара вершин (xi,xj) в

случае XRX соединяется ребром с весом ?R(xi,xj), в случае XRY пара вершин

(xi,yj) соединяется ребром c весом ?R(xi,yj).

Примеры:

Пусть Х={x1,x2,x3}, и задано нечеткое отношение R: XЧX> [0,1], представимое

графом:

[pic]

Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3}, тогда нечеткий граф вида:

[pic]

задает нечеткое отношение XRY.

Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть определен на некотором

G?XЧY, где G - множество упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех

возможных) такое, что G? [pic]= ? и G?[pic] = XЧY.

Будем использовать обозначения [pic]вместо [pic]и [pic]вместо [pic].

Пусть R: XЧY>[0,1].

Носитель нечеткого отношения.

Носителем нечеткого отношения R называется обычное множество упорядоченных

пар (x,y), для которых функция принадлежности положительна:

S(R)={(x,y): ?R(x,y)>0}.

Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или содержащееся в

нем.

Пусть R1 и R2 - два нечетких отношения такие, что:

?(x,y)?XЧ Y: ?R1(x,y)??R2(x,y),

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: R1?R2 .

Пример:

[pic]

[pic]

Отношения R1 , R2 - отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1

отношение R2 содержит R1 .

Операции над нечеткими отношениями

Объединение двух отношений R1 и R2.

Объединение двух отношений обозначается R1?R2 и определяется выражением:

?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)

Примеры:

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержательно

означающие: xR1y - "числа x и y очень близкие", xR2y - "числа x и y очень

различны" и их объединение xR1?R2y - "числа x и y очень близкие или очень

различные".

Функции принадлежности отношений заданы на |y-x|. [pic]

|?R1?R2(x,|?|?R1(x,y), | y |

|y) = | |- x | ?? |

| |?|?R2(x,y), | y |

| | |- x | >? |

| |?| |

где ? - такое |y-x|, что ?R1(x,y) = ?R2(x,y)

2.

|R1 |R2 |R1?R2 |

| | | |

| | | |

|y1 |y1 |y1 |

|y2 |y2 |y2 |

|y3 |y3 |y3 |

| | | |

|x1 |x1 |x1 |

|0,1 |0,7 |0,7 |

|0 |0,9 |0,9 |

|0,8 |1 |1 |

| | | |

|x2 |x2 |x2 |

|1 |0,3 |1 |

|0,7 |0,4 |0,7 |

|0 |0,5 |0,5 |

| | | |

Пересечение двух отношений.

Пересечение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и определяется

выражением:

?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)

.

Примеры:

1. Ниже изображены отношения: xR1y, означающее "модуль разности |y-x|

близок к ?", xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к ?", и их

пересечение.

[pic]

Алгебраическое произведение двух отношений.

Алгебраическое произведение двух отношений R1 и R2 обозначается R1?R2 и

определяется выражением:

?R1?R2(x,y) = ?R1(x,y)? ?R2(x,y)

Алгебраическая сумма двух отношений.

Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R1[pic]R2 и

определяется выражением: [pic].

Для введенных операций справедливы следующие свойства дистрибутивности:

R1?(R2?R3) = (R1?R2 )?(R1?R3),

R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),

R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),

R1?(R2?R3) = (R1?R2)?(R1?R3),

R1[pic](R2?R3) = (R1[pic]R2)?(R1[pic]R3),

R1[pic](R2?R3) = (R1[pic]R2)? (R1[pic]R3).

Дополнение отношения.

Дополнение отношения R обозначается [pic]и определяется функцией

принадлежности:

[pic](x,y) = 1 - ?R(x,y)

.

Дизъюнктивная сумма двух отношений.

Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2 обозначается R?R и определяется

выражением:

R1?R2 = (R1?[pic]2)?([pic]1?R2) .

Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.

Пусть R - нечеткое отношение с функцией принадлежности ?R(x,y). Обычное

отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется выражением:

[pic]

По договоренности принимают ?R(x,y)=0 при ?R(x,y) = 0,5.

Проекции нечеткого отношения.

Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)>[0,1]. Первой проекцией

[pic]отношения R (проекция на X) называется нечеткое множество [pic],

заданное на множестве X, с функцией принадлежности:

[pic].

Аналогично, второй проекцией [pic](проекцией на Y) называется нечеткое

множество [pic], заданное на множестве Y, с функцией принадлежности:

[pic].

Величина h(R) = [pic]называется глобальной проекцией отношения R. Если

h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае - субнормально.

Пример:

|R =| | |1-я |= |

| |y1 | |проекция |R1' |

| |y2 | |1 | |

| |y3 | | | |

| |y4 | |0,9 | |

| |y5 | | | |

| | | |1 | |

| |x1 | | | |

| |0,1 | | | |

| |0,2 | | | |

| |1 | | | |

| |0,3 | | | |

| |0,9 | | | |

| | | | | |

| |x2 | | | |

| |0,9 | | | |

| |0,1 | | | |

| |0,5 | | | |

| |0,8 | | | |

| |0,5 | | | |

| | | | | |

| |x3 | | | |

| |0,4 | | | |

| |0 | | | |

| |0,6 | | | |

| |1 | | | |

| |0,3 | | | |

| | | | | |

| | | | | |

|R2'| | |1 |= |

|= |0,9 | | |h(R)|

| |0,2 | | | |

| |1 | | | |

| |1 | | | |

| |0,9 | | | |

| | | | | |

|2-я проекция | |

Цилиндрические продолжения проекций нечеткого отношения

Проекции R1' и R2' нечеткого отношения XRY в свою очередь определяют в XЧY

нечеткие отношения [pic]и [pic]с функциями принадлежности:

[pic](x,y)=[pic](x) при любом y, [pic](x,y)=[pic](y) при любом x,

называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1' и

цилиндрическим продолжением R2'.

Замечание. Очевидно, что для любых нечетких подмножеств А и В,

определенных, соответственно, на X и Y, можно построить их цилиндрические

продолжения А и В.

Пример (продолжение):

Имеем:

|R1'| | |[pi| |

|= | | |c]=|y1 |

| | | | |y2 |

| |x1 | | |y3 |

| |1 | | |y4 |

| | | | |y5 |

| |x2 | | | |

| |0,9 | | |x1 |

| | | | |1 |

| |x3 | | |1 |

| |1 | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | | |

| | | | |x2 |

| | | | |0,9 |

| | | | |0,9 |

| | | | |0,9 |

| | | | |0,9 |

| | | | |0,9 |

| | | | | |

| | | | |x3 |

| | | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | |1 |

| | | | | |

и

|R2'| | [|x1 |

|= |y1 |pic]|0,9 |

| |y2 |= |0,2 |

| |y3 | |1 |

| |y4 | |1 |

| |y5 | |0,9 |

| | | | |

| | | |x2 |

| |0,9 | |0,9 |

| |0,2 | |0,2 |

| |1 | |1 |

| |1 | |1 |

| |0,9 | |0,9 |

| | | | |

| | | |x3 |

| | | |0,9 |

| | | |0,2 |

| | | |1 |

| | | |1 |

| | | |0,9 |

| | | | |

Сепарабельность отношений

Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если оно равно пересечению

цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R = [pic]? [pic], т.е.

?R (x,y) = [pic](x)? [pic](y).

Замечание. Если определено декартово произведение нечетких множеств (выше

оно введено), то, очевидно, нечеткое отношение XRY сепарабельно, если оно

является декартовым произведением своих проекций, т.е. R = R1'ЧR2'.

Пример (продолжение):

|[pic]? | |? |

|[pic]= |y1 |R, |

| |y2 | |

| |y3 | |

| |y4 | |

| |y5 | |

| | | |

| |x1 | |

| |0,9 | |

| |0,2 | |

| |1 | |

| |1 | |

| |0,9 | |

| | | |

| |x2 | |

| |0,9 | |

| |0,2 | |

| |0,9 | |

| |0,9 | |

| |0,9 | |

| | | |

| |x3 | |

| |0,9 | |

| |0,2 | |

| |1 | |

| |1 | |

| |0,9 | |

| | | |

т.е. исходное отношение R несепарабельно.

Композиция двух нечетких отношений

Композиция двух нечетких отношений

Пусть R1 - нечеткое отношение R1: (XЧ Y)>[0,1] между X и Y, и R2 - нечеткое

отношение R2: (YЧZ)> [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z,

обозначаемое R2•R1, определенное через R1 и R2 выражением

?R1•R2 (x,z) = [pic][?R1 (x,y)??R1(y,z)],

называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2.

Примеры:

|R1 |R2 |R2•R1 |

| | | |

| | | |

|y1 | |z1 |

|y2 |z1 |z2 |

|y3 |z2 |z3 |

| |z3 |z4 |

|x1 |z4 | |

|0,1 | |x1 |

|0,7 |y1 |0,3 |

|0,4 |0,9 |0,6 |

| |0 |0,1 |

|x2 |1 |0,7 |

|1 |0,2 | |

|0,5 | |x2 |

|0 |y2 |0,9 |

| |0,3 |0,5 |

| |0,6 |1 |

| |0 |0,5 |

| |0,9 | |

| | | |

| |y3 | |

| |0,1 | |

| |1 | |

| |0 | |

| |0,5 | |

| | | |

?R1•R2(x1, z1) = [?R1(x1, y1) ? ?R2 (y1, z1)] V [?R1(x1, y2) ? ?R2(y2, z1)]

V [?R1(x1, y3) ? ?R2(y3, z1)] =

= (0,1?0,9)V(0,7?0,3)V(0,4?0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3

?R1•R2(x1,z2) = (0,1?0)V(0,7?0,6)V(0,4? 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6

?R1•R2(x1,z3) = 0,1

...................

...................

?R1•R2(x2,z5) = 0,5

Замечание. В данном примере вначале использован "аналитический" способ

композиции отношений R1 и R2 , т.е. i-я строка R1 "умножается" на j-й

столбец R2 с использованием операции ?, полученный результат "свертывается"

с использованием операции V в ? (xi,zj).

Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R2, "склеенные" по Y. В

полученном графе рассматриваем пути от xi к zj и каждому ставим в

Страницы: 1, 2, 3