Иоганн Кеплер

Солнцу». Кеплер уже в «Космографической тайне» указывал, что Солнце само

является естественным центром планетной системы, и считал, что

противостояние следует брать по отношению к реальному, а не к среднему

Солнцу. Это было первым существенным нововведением в методы исследования.

Кеплер впервые предположил, что движение планет происходит вследствие

воздействия на них некоей силы, исходящей от Солнца. Таким образом, у

Кеплера Солнце становится не только источником света и тепла для всей

планетной системы, но также и источником движущей планеты силы.

Второе нововведение Кеплера заключалось в следующем. Орбиты всех планет

лежат не совсем в одной плоскости — их плоскости образуют одна с другой

небольшие углы (например, плоскости орбит Земли и Юпитера составляют угол в

1°18,5'). Если не учесть этот факт, приходится встречаться с большими

затруднениями при объяснении некоторых особенностей в наблюдаемых с Земли

положениях Марса. Коперник, например, считал, что плоскость орбиты Марса

колеблется в пространстве, не интересуясь физической причиной такого

странного явления. Предположив, что дело здесь в наличии некоторого

постоянного угла между плоскостями планетных орбит, Кеплер без особого

труда, по данным наблюдений Браге, убеждается в правильности своей гипотезы

и находит угол между плоскостями орбит Земли и Марса равным 1°50'.

Третье нововведение Кеплера более радикально. От Платона и Птолемея до

Коперника и Браге астрономы были уверены в том, что планеты совершают свои

круговые движения с равномерной скоростью. Кеплер, сохраняя на первых порах

движение круговым, отбрасывает аксиому равномерного движения. И при этом он

руководствуется прежде всего физическими соображениями: если Солнце

управляет движением, является его источником, то его сила должна

действовать на планету более интенсивно, когда она находится ближе к

источнику, и менее интенсивно, когда планета от него удалится,

следовательно, планета будет двигаться с большей или меньшей скоростью в

зависимости от ее расстояния до Солнца. Эта идея была не только отрицанием

античной традиции, она отвергала и предположение Коперника, по которому не

могло быть, « ... чтобы простое небесное тело неравномерно двигалось одной

сферой ... ». Коперник был в свою очередь решительно не согласен с учением

Птолемея о том, что планеты движутся равномерно не вокруг центров своих

орбит, а вокруг воображаемой точки на некотором расстоянии от центра. Эта

точка называлась punctum aequans или aequant (уравнивающей точкой, или

эквантом). Коперник, отказавшись от птолемеевых эквантов, ввел вместо них

добавочные эпициклы. Кеплер, отбрасывая догму равномерного движения,

возвратился к понятию экванта, рассматривая его как важное вычислительное

средство.

Этими нововведениями Кеплер несколько облегчил предстоящее решение

своей задачи. Кеплер писал: «Ох, сколько я должен был пролить слез над

трогательным старанием Апиана, который, следуя Птолемею, зря тратил свое

драгоценное время и изобретательность на построение спиралей, петель,

винтовых линий, завитков и целого лабиринта инволюций, чтобы изобразить то,

что существует только в воображении и которое природа отказывается принять

как свое подобие».

[pic]

Рис. 3

Первая попытка решить задачу описывается Кеплером в XVI главе «Новой

астрономии». Его задача состояла прежде всего в определении некоторых

параметров орбиты Марса, которую, напомним, Кеплер пока еще полагал

круговой. Нужно было определить радиус орбиты (см. Рис. 3), направление по

отношению к неподвижным звездам линии аспид, т.е. оси, соединяющей точку, в

которой планета бывает ближе всего к Солнцу (перигелий), и противоположную

ей точку (афелий), а также положение Солнца (S), центра орбиты (C) и

экванта (Е), которые лежат на этой оси. Из журналов наблюдений Тихо Браге,

которыми он теперь располагал, он выбрал запись о четырех наблюдавшихся

противостояниях Марса — в 1587, 1591, 1593 и 1595 гг. В самом начале своих

вычислений Кеплер по рассеянности допускает несколько ошибок, которые

должны были бы существенно повлиять на правильность вычислений. Кеплер так

и не заметил их до конца своей работы, но их обнаружил французский историк

астрономии Деламбр. Тем не менее исправленные Деламбром вычисления в

результате дали почти те же значения — оказалось, что в самом конце

вычислений Кеплер при делении снова допустил ошибки, перекрывшие первые! В

результате вычислений Кеплер получил полный эксцентриситет, равный 0,18564

долям радиуса, причем Солнце отстоит от центра на 0,11332, а эквант — на

0,07232 доли радиуса (современная теория показывает, что оба расстояния

должны быть приблизительно равны 0,5625 и 0,4375 полного эксцентриситета;

значения, полученные Кеплером — 0,6104 и 0,3896 соответственно). Долгота

афелия для 1587 г. составляла 148°48’55’’. Полученные им значения при

подстановке в данные десяти наблюдений Браге расходились менее чем на 2’,

что было вполне допустимым.

Однако уже следующая глава начинается удивленным возгласом: «Как же

это могло быть? Гипотеза, которая хорошо согласуется с наблюдениями

противостояний, все же ошибочна». И в двух последующих главах Кеплер

обстоятельно объясняет, как он установил, что гипотеза ложна и почему ее

нужно отвергнуть. Пытаясь применить свою модель к вычислению промежуточных

положений Марса по данным наблюдений Браге, Кеплер обнаруживает расхождение

теории с практикой, достигающей в численном выражении 8’.

Следующий этап исследований Кеплер описывает в книге третьей.

Многократные вычисления говорят Кеплеру о том, что невозможно построить

круговую орбиту планеты, полностью соответствующую данным наблюдений.

Окружность полностью определяется заданием трех точек на ней, любая другая

кривая линия требует знания положения большего количества точек на ней. Для

определения формы орбиты Марса, копь скоро она не была окружностью,

требовалось прежде всего уточнить орбиту небесного тела, на котором

размещен наблюдатель, т. е. самой Земли. Ведь из неправильного

представления о движении наблюдателя выводы о движении наблюдаемых объектов

будут тоже неверны. Если бы было возможно в каждый момент времени находить

непосредственно величину отрезка Земля — Солнце. Но такой возможности у

Кеплера не было. Другой принципиально возможный случай заключается в выборе

в пространстве некоторого неподвижного ориентира о котором известно, что он

в течение длительного времени сохраняет свое положение неизменным. Тогда

земные наблюдатели могли бы при необходимости визировать направление на

него.

[pic]Рис. 4

Допустим, что в определенный момент времени Земля (З) находится на

прямой, соединяющей Солнце (С) с нашим ориентиром М (см. Рис. 4). Если в

это время визировать с Земли направление на ориентир М, то получим

направление СМ (Солнце—ориентир). Пусть это направление зафиксировано на

небесном своде. Рассмотрим положение Земли в другой момент (З1). Если и

Солнце (С) и ориентир М видны с Земли (З1) то в треугольнике СЗ1М известен

угол ( = СЗ1М. Направление прямой СМ относительно неподвижных звезд

определено раз и навсегда. Но теперь, установив направление на Солнце З1С

прямым наблюдением, можно определить и угол ( = З1СМ. Следовательно,

треугольник СЗ1М может быть теперь построен по стороне СМ и двум углам ( и

( для каждого положения З1 и при этом определится это самое положение З1

относительно заданного базиса СМ. Таким образом можно получить необходимое

число точек, принадлежащих орбите Земли.

Но где же взять ориентир М? Изобретательный ум великого астронома

использовал ориентир, хоть и не строго неподвижный, но периодически, через

известные заранее интервалы времени, занимающий одно и то же положение в

пространстве. Дело в том, что уже и тогда была довольно точно известна

продолжительность марсианского года, т. е. период обращения Марса вокруг

Солнца, — 687 дней. Используя эту величину в качестве исходной, теперь

достаточно было учесть, что любое зафиксированное положение Марса (и длина

отрезка МС) через целое число марсианских лет будет повторяться, в то время

как положение Земли на ее орбите каждый раз будет, вообще говоря, иным.

Таким образом можно установить такое количество точек орбиты Земли.

Естественно, что, не располагай Кеплер данными многолетних наблюдений Браге

за Марсом, быстрое решение этой задачи оказалось бы невозможным.

Результаты произведенных Кеплером вычислений совпали с его

предположениями: Земля, как и другие планеты, вопреки мнению Коперника и

его предшественников, не движется равномерно, а быстрее, когда она ближе к

Солнцу, и медленнее, когда дальше от него. Так впервые в истории астрономии

была показана ошибочность аристотелевского представления о равномерных

движениях планет. Дальше, занимаясь вычислением расстояния Марс — Земля,

Кеплер нашел, что наибольшее расстояние, в афелии (в частях радиуса земной

орбиты), составляет 1,6678, а наименьшее, в перигелии, 1,3850. Тогда радиус

орбиты Марса будет равен:

[pic]

а расстояние Солнца от центра орбиты Марса

[pic]

т.е. половине ранее выведенного из движения Мара полного эксцентриситета

его орбиты (равного 0,1856). Таким образом Кеплером было установлено, что

полный эксцентриситет планет делится центром орбиты на две равные части

между Солнцем и эквантом.

Кеплеровская концепция тяготения.

В течение многих веков в естествознании господствовала аристотелевская

точка зрения на природу тяготения: «Земля и Вселенная имеют общий центр;

тяжелое тело движется к центру Земли, и происходит это вследствие того, что

центр Земли совпадает с центром Вселенной».

В «Новой астрономии» по мнению Кеплера, тяготение — это «взаимное телесное

стремление сходных (родственных) тел к единству или соединению». В

примечаниях к своему более позднему сочинению о лунной астрономии Кеплер

пишет: «Гравитацию я определяю как силу, подобную магнетизму — взаимному

притяжению. Сила притяжения тем больше, чем оба тела ближе одно к другому

... ». Этим самым Кеплер существенно продвигается в направлении, которое

позже приводит Ньютона к открытию его знаменитого закона всемирного

тяготения. Здесь же Кеплер добавляет: «Причины океанских приливов и отливов

видим в том, что тела Солнца и Луны притягивают воды океана с помощью

некоторых сил, подобных магнетизму». Пытаясь установить количественную

зависимость между силой притяжения и расстоянием, Кеплер предположил, что

сила притяжения прямо пропорциональна весу, но обратно пропорциональна

расстоянию.

Внимание Кеплера было привлечено и к такому свойству материальных тел,

как инерция. Сам термин «инерция» был введен в именно Кеплером. Он

обозначил им явление сопротивления движению покоящихся тел. Инерция

движения, по крайней мере до 1620 г., им не рассматривается. Важно

отметить, что понятие инерции было распространено Кеплером (в его

понимании) на внеземные тела и явления. В «Новой астрономии» он пишет:

«Планетные шары должны быть по природе материальны ..., они обладают

склонностью к покою, или отсутствию движения».

[pic]

Рис. 5 К выводу Кеплером закона площадей

Для объяснения эксцентричности орбит Кеплер предположил, что планеты

представляют собой «огромные круглые магниты», магнитные оси которых

сохраняют постоянное направление, подобно оси волчка. Следовательно,

планеты будут периодически то притягиваться ближе к Солнцу, то

отталкиваться от него, в соответствии с расположением их магнитных полюсов.

Далее Кеплер делит всю орбиту Земли на 360 частей, отметив на орбите

положение Земли З1, З2, ..., З360 в соответствующие моменты времени t1, t2,

..., t360. Кеплер сопоставлял сумму расстояний между Землей и Солнцем в

моменты времени ti и tk (и во все промежуточные моменты) с промежутком

времени, необходимым планете, чтобы перейти из положения Зi, Зk. При

сложении оказалось, что эта сумма отрезков не зависит от выбранного участка

орбиты, а только от величины промежутка времени. Вспомнив затем, как

Архимед для нахождения площади круга разлагал его на большое число

треугольников, Кеплер заменяет сумму расстояний площадью сектора,

описанного радиусом-вектором точки орбиты, считая эти величины

пропорциональными, хотя и не говоря об этом прямо (см. Рис. 5). Необходимо

заметить, что при выводе закона площадей (в конце 1601 — начале 1602 г.)

Кеплер встретился и по-своему справился с задачей, имеющей прямое отношение

к тому разделу математики, бурное развитие которого вскоре ознаменовало

наступление нового этапа в истории математики, связанного с исчислением

бесконечно малых. Его попытка бесконечного суммирования по существу была

первым шагом в численном интегрировании. Второй закон определял изменение

скорости движения планет по их орбите, однако сама форма орбиты оставалась

еще неизвестной.

Теперь Кеплеру предстояло дать математическое описание той кривой, по

которой движется планета, и эта задача оказалась самой сложной и

трудоемкой. Пришлось проверять одну за другой многие гипотезы. При этом,

правда, в распоряжении Кеплера уже было мощное средство исследования — его

закон площадей. Это давало возможность, задавая гипотезу о кривой той или

иной формы, вычислять положения, которые должен был бы занимать Марс на

этой предполагаемой орбите в различные моменты времени, и сравнивать их с

наблюдаемыми положениями. «Правда лежит между кругом и овалом, как будто

орбита Марса есть точный эллипс». Но, поместив Солнце в его центр, Кеплер

снова не пришел к согласующемуся с данными наблюдений результату.

В начале 1605 г. Кеплеру удалось найти истинную связь между

расстоянием Солнце — Марс и так называемой эксцентрической аномалией. Он

нашел тогда уравнение, которое сейчас называется его именем и широко

используется в теоретической астрономии. Это уравнение имеет вид:

[pic]

[pic]— константы. Это уравнение является одним из первых трансцендентных

уравнений, которые нашли практическое приложение. Наконец Кеплер заметил,

что боковое сжатие орбиты составляет 0,00429 доли радиуса, что точно равно

половине квадрата определенного им ранее эксцентриситета (0,09262

=0,00857). И тогда Кеплер предположил, что орбита Марса — эллипс, но Солнце

располагается не в его центре, а в одном из фокусов. Проверка гипотезы

эллипса быстро привела его к успешному завершению работы, ознаменовавшемуся

выводом первого закона: Марс движется по эллипсу, в одном из фокусов

которого находится Солнце. Кеплер не сомневался, что по этому же закону

движутся и остальные планеты, что вскоре им было проверено. Он был уверен

также, что и орбита Земли — эллипс, но из-за малого эксцентриситета (e=

0,01673) и недостаточной точности наблюдений этот эллипс тогда еще

невозможно было отличить от окружности. Открытые Кеплером законы

подготовили почву Ньютону для открытия закона всемирного тяготения.

Законы Кеплера сохраняют свое значение и в наше время. Правда, будучи

абсолютно строгими математическими законами для движения двух материальных

тел (точнее — материальных точек), они не учитывают воздействия на каждую

планету других планет, которые хотя и очень слабы, но все же приводят к

небольшим отклонениям их движения от эллиптической орбиты. Но математики и

астрономы научились учитывать эти воздействия (благодаря чему, между

прочим, были открыты планеты Нептун и Плутон).

Третий закон движения планет Кеплер вывел значительно позже (в 1619

г.). Суть этого закона была изложена в труде под названием «Мировая

гармония». Кеплер формулирует этот закон так: «... отношение между

периодами обращения каких-нибудь двух планет как раз равняется полуторной

степени отношения их средних расстояний; однако обращаю внимание на то, что

среднее арифметическое обоих диаметров эллиптической, орбиты немногим менее

длиннейшего диаметра». Сейчас этот закон формулируется в такой форме:

квадраты сидерических периодов планет относятся между собой, как кубы их

средних расстояний от Солнца.

Математические исследования Кеплера.

С 1594 г. Кеплер имел официальное звание математика: штирийский

провинциальный математик с 1594 по 1600 г., императорский математик с 1601

г. до конца жизни и, кроме того, математик провинции Верхней Австрии с 1613

по 1628 г. в те времена понятие «математика» был значительно шире чем в

наше время. Так в «Математическом словаре» французского академика Ж.

Озанама, изданном в 1691 г., кроме традиционных арифметики, алгебры,

геометрии, в круг математических предметов включены были также механика с

гидростатикой, архитектура и фортификация, география и навигация,

астрономия, оптика, а также музыка.

В работах Кеплера математического характера отчетливо прослеживается

воздействие, которое оказывали на формирование новых математических идей и

методов потребности точного естествознания, в особенности астрономии,

механики. Математика во времена Кеплера становилась мощным инструментом

изучения и открытия закономерностей и свойств окружающего мира.

Задачи из «Новой астрономии» были лишь первым его шагом в развитии

математики переменных величин. Следующим шагом была книга «Nova

stereometria doliorum vinariorum... accesit Stereometriae Archimedae

Supplementum» («Новая стереометрия винных бочек... с присоединением

дополнения к Архимедовой стереометрии»). Книга эта заняла видное место в

истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера,

полностью переведенным на русский язык. Книга вышла в Линце в 1615 г., но

написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма

любопытный повод, известный по словам самого Кеплера. Осенью 1613 г. в

Верхней Австрии был собран особенно обильный урожай винограда.

Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а

пристань в Линце все еще была забита бочками. Кеплер как решил запастись

приятным напитком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем

появился купец и с помощью единственного инструмента — мерной линейки,

стержня с делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без

всяких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линейку в наливное

отверстие бочки вплоть до упора в нижний край днища, после чего объявлял

количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней. Кеплер был

очень удивлен этим: каким образом наклонный отрезок между двумя

определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже

усомнился в правильности такого метода измерения, так как представлялось,

что очень низкая, ограниченная широкими днищами, бочка могла иметь такое же

расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее

широкими днищами. Обоснованно ли такое определение вместимости? Тем более

Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась

либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при

переливании, либо производили многочисленные замеры размеров бочки, после

чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее

емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.

Узнав, что употребление мерной линейки санкционируется здесь властями,

Кеплер «счел для себя подходящим взять новый предмет математические занятий

и исследовать геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в

хозяйстве измерения, а также выяснить его основания, если таковые имеются».

Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово

сочинение о результатах этого исследования, и Кеплер отправил его для

издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной

типографии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вскоре сообщил,

что, по мнению книгопродавцев, предложенное Кеплером сочинение, к тому же

написанное на латинском языке, пользоваться спросом не будет, и

субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и

Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в

Линце была создана типография. Не без затруднений (издатель, которому была

направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть

рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также

дописывает новую, очень важную главу «Дополнения к Архимеду». Уже осенью

1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» — первая книга, напечатанная в

Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре

книготорговли — Франкфурте.

Ее издание было предпринято Кеплером за свой счет. Пытаясь хотя бы

частично покрыть понесенные расходы, он обращается к своим друзьям с

просьбой рекомендовать его книгу заинтересованным лицам и учебным

заведениям. О спросе на математическую литературу в то время

свидетельствует письмо к Кеплеру Гданьского математика Крюгера, в котором

он пишет, что во всей округе видит лишь трех потенциальных покупателей:

своего кёнигсбергского коллегу, кёнигсбергскую библиотеку и некоего

дворянина по фамилии Невешинский.

Местные власти отнеслись к проделанной Кеплером работе весьма холодно,

недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше «эту работу оставить, а

довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему

«Рудольфинские таблицы» и географическую карту». Однако Кеплер не внял

этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги,

ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов людей,

нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности,

но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой

целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения

материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в

то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное — он

переводит свое сочинение на немецкий язык. Последнее обстоятельство было

очень важным, поскольку научных книг на немецком языке тогда издавалось

мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому

значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте

книги под названием: «Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis», т.

е. «Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...», состоит не

только в привлечении внимания к возможностям математических методов широких

слоев населения, но и в выполненной здесь большой работе по созданию

немецкой математической терминологии. Этим самым, а также изданием

нескольких трактатов астрономического содержания на родном языке (и

подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неизданными) Кеплер внес

существенный вклад в развитие языка немецкой естественнонаучной литературы.

Книга «Новая стереометрия» состояла из трех частей. В предисловии

Кеплер пишет: «Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и

цилиндром — фигурами правильными — тем самым они поддаются геометрическим

измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего

исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько,

насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а

полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих

книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их чтения. Впрочем, на

некоторых мостах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться

поподробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем воспользоваться и чему

порадоваться». Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической

направленности своего труда он не задерживается на положениях своего

великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к

первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы

достигнутого Архимедом.

[pic]

Рис. 6

Первая часть сочинения, озаглавленная «Стереометрия правильных кривых

тел», в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых —

«Архимедовой стереометрии» Кеплер приводит 16 теорем, известных еще

Архимеду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению

соответственных задач становится заметным с самого начала. Остановимся на

примере с площадью круга. Произведение Архимеда «Измерение круга»

начинается следующим предложением: «Всякий круг равен прямоугольному

треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу

сторон, а периметр — основанию треугольника». Это предложение Архимед

доказывает косвенно (методом исчерпывания), показывая с помощью вписанных и

описанных правильных многоугольников, что площадь круга будет не больше и

не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвенным доказательством,

приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется,

что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит

столько же частей, сколько точек, именно, бесконечное число. Каждую из них

рассмотрим как основание некоторого равнобедренного треугольника со

стороной АВ, и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество

треугольников, соединенных вершинами в центре А. Пусть, далее, окружность

круга вытянута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна

(см. Рис. 6). Тогда основания всех этих бесчисленных треугольников, или

секторов, будут представляться расположенными друг за другом по прямой ВС;

пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему — DЕ.

Соединим точки F, Е, D с А. Таких треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС

получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их основания BF,

DЕ и общая высота АВ будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти

треугольники ABF, АDЕ и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из

них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе

эти треугольники, имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник ABC,

всеми ими составленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е.

составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово

приведение к нелепости». Архимед действительно мог иметь это в виду. Но

учитывая, что между элементарным круговым сектором и элементарным

треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус

круга будут при конечном n всегда больше соответственных линий

элементарного треугольника, для точности вывода следует показать, что

разность между площадями круга и треугольника при увеличении числа делений

может стать действительно меньше любого данного сколь угодно малого числа

(т. е. что эта разность представляет собой бесконечно малое). Архимед

своими рассуждениями это показывает, Кеплер — нет. У Кеплера хорды

окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться

как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что

площадь круга рассматривается Кеплером как какая-то сумма всех радиусов, а

треугольника — как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из

его вершин.

Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется

архимедовыми методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно

большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Кеплер говорит, что

шар «как бы» содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в

центре, а основания — на поверхности шара, и находит таким образом его

объем. Вообще из его неоднократного «как бы» («veluti») видно, что он не

стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В

некоторых местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, называя их

чрезвычайно глубокими, но трудными для понимания, и вместо них приводит

рассуждения, которые устанавливают «вероятность» того или другого

предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера.

Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних.

Ему, разумеется, не было известно содержание архимедового «Послания к

Эратосфену», обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становится ясно,

что и Архимед пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно

близкими к кеплеровым.

Кеплер, как его современник Кавальери и другие более поздние

математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa

omnium» — «сумма всех» (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех ординат),

которое выполняло тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как

известно, знак интеграла (удлиненная буква S) был введен Лейбницем в конце

XVII в. именно для сокращенной записи выражения «Summa omnium».

Во второй половине первой части своей работы — в «Дополнениях к

Архимеду» — Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для

решения многих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко

устанавливает, что объем тора равен объему цилиндра, основанием которого

служит меридиональное сечение тора, а высотой — длина окружности,

описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так:

меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число

кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего,

но толщина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому

толщин у краев. Поэтому Кеплер принимает, что объем такого кружочка равен

объему цилиндра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а

в основании лежит образующий тор круг. При этом тор и цилиндр, о которых

говорится в условии теоремы, разбиваются на равное число равновеликих

частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более сложном примере

определяется объем «яблока». Так называет Кеплер тело, образуемое

сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды. Остроумным

перераспределением деформированных без изменения объема долей «яблока»,

образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела

вращения, проходящими через его ось, так называемую хорду сегмента, а по

другому — тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью

хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело,

представляющее собой «цилиндрическое копыто» — цилиндрический сегмент,

основанием которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна

длине окружности экватора данного тела вращения.

Рассмотрев в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора,

«яблока» и «лимона» («лимоном» названа тело, образуемое вращением сегмента,

меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и

других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных

отрезков дуг конических сечений — эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам

Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает

меткие названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.

Вторая часть его книги, названная «Специальная стереометрия

австрийской бочки», начинается рассуждением о геометрической форме бочек.

Он указывает, что в первом приближении бочку можно рассматривать как

цилиндр, или как два усеченных конуса, сложенных большими основаниями.

Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона,

образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса,

либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с

обеих сторон.

Далее Кеплер рассматривает зависимость между объемом бочек и длиной

замеряемого отрезка и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к

меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимается

здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а также бочек, обладающих

наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что

приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно

малых — дифференциального исчисления: к определению максимумов и

изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак

максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максимумом и

непосредственно предшествующими или последующими значениями незаметна.

В третьей части книги («Употребление всей книги о бочках») Кеплер дает

практические рекомендации по измерению объемов бочек, пытается найти способ

для определения с помощью мерного стержня «отношения пустой части к остатку

жидкости при лежащей бочке», но в общем виде решение этой задачи ему не

удается. Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую

эпоху, новый период в развитии математики, они не были сначала правильно

оценены многими его современниками. Некоторые математики резко выступили

против его «нестрогих» методов определения объемов, против его метода

суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через

год после появления «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту

Архимеда», где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они

не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидной и для него

самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому

потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. Оформлением

в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального

исчисления.

Список использованной литературы:

1. Белый, Ю.А. Иоганн Кеплер. Изд. «Наука». М. 1971

2. Веселовский, И.Н. Очерки по истории теоретической механики. Изд. «Высшая

школа». М. 1974

3. Григорьян, А.Т. Механика от античности до наших дней. Изд. «Наука». М.

1974

4. Кудрявцев, П.С. История физики и техники. М. 1960

5. Моисеев, Н.Д. Очерки развития механики. Изд. Московского Университета.

1961

6. Спасский, Б.И. История физики. Изд. Московского Университета. 1956

Страницы: 1, 2