Управление инвестиционными рисками

контроль за их соблюдением осуществляется начальником подразделения и

сотрудником, отвечающим за аналитическую работу по операциям с

корпоративными облигациями.

Чтобы избежать непредвиденных потерь по портфелю, нужно проводить

оперативный контроль за рисками и соблюдением лимитов.

Предварительно, перед каждым новым открытием позиции, осуществляются

расчеты рисков. Риски определяются как в отдельности - по новой позиции,

так и, с учетом ранее открытых позиций, по отрасли и по портфелю в целом.

По результатам расчетов, определяется значение текущего лимита на

новую позицию. При этом, открытие позиции на всю сумму текущего лимита не

должно привести к нарушению отраслевого и глобального объемных лимитов.

При покупке инструментов на первичном рынке, допускается открывать

позицию на всю сумму скорректированного базового кредитного лимита, без

учета динамического риска, однако при появлении вторичного рынка по бумаге

и данных для расчетов динамического риска, размер позиции должен быть

уменьшен, в случае необходимости, до величины текущего кредитного лимита.

Отчет по рискам портфеля составляется одновременно с месячным

прогнозом развития ситуации на рынке корпоративных облигаций.

В случае, если по результатам пересмотра, один или несколько лимитов

оказываются нарушенными, в портфель следует внести соответствующие

коррективы.

Бывают такие ситуации, что в портфелях находятся ценные бумаги,

эмитенты которых не имеют кредитного рейтинга, и иногда бывает сложно

определить по параметрам облигации какова степень статического риска у

данного заемщика.

После августовского кризиса 1998 года российский рынок ценных бумаг

пережил ряд потрясений, связанных с неспособностью либо нежеланием

заемщиков исполнять свои обязательства по облигациям и кредитам. В

результате риск дефолта стал одним из наиболее важных факторов, принимаемых

во внимание при оценке долговых ценных бумаг. Традиционной мерой такого

риска является превышение уровня доходности к погашению над безрисковой

процентной ставкой. Мы предлагаем альтернативный подход, который позволяет

математически определить предполагаемую вероятность дефолта по долговым

финансовым инструментам, которая является мерой риска дефолта как на

развивающихся, так и на развитых рынках. Этот показатель играет весьма

важную роль во внутрибанковском планировании.

Трейдеры по ценным бумагам могут использовать этот показатель в

частности для торговли относительной стоимостью (ценные бумаги сходного

кредитного качества должны иметь близкие значения вероятности дефолта).

Во внутри банковском планировании, например при приведении стоимости

фондирования разных направлений бизнеса внутри банка к безрисковым ставкам,

а также для расчетов стоимости хеджирования кредитных рисков, коммерческие

банки пользуются этим подходом.

Умножая данный показатель на стоимость актива, можно теоретически

определить стоимость хеджирования или в случае кредитования клиента банком

размер компенсации за дополнительный риск.

Для расчета предполагаемой вероятности дефолта предположим, что

вероятность его наступления в период между любыми двумя последовательными

платежами не зависит от срока до погашения ценной бумаги. Такой подход

аналогичен тому, который используется при расчете доходности к погашению по

облигациям, когда при расчете приведенной стоимости будущих платежей в

качестве ставки дисконтирования используется одна и та же процентная ставка

— доходность к погашению, рассчитываемая по формуле:

Bond рriсе = [pic]( (3.1)

где YTM — доходность к погашению; [pic]Сi[pic], — платеж по облигации

в момент времени Тi; YTM = r + Risk Premium, где r — безрисковая процентная

ставка.

Для расчета приведенной стоимости будущих платежей в качестве ставки

дисконтирования будет использоваться безрисковая процентная ставка, так как

весь риск будет заложен в оценке вероятных платежей.

Пусть Р — вероятность наступления дефолта в период между любыми двумя

последовательными платежами. Тогда вероятность того, что дефолт не наступит

в первый период выплаты по ценной бумаге, равна (1 - Р), а в i-й период —

произведению вероятностей ненаступления дефолта во все предыдущие периоды и

(1 - Р), т. е. [pic](1 – P)[pic].

Аналогично вероятность того, что дефолт наступит именно в i-й период,

равна (1 - Р)[pic]Р.

В случае если дефолт не наступает, держатель ценной бумаги получает

платеж Сi( а в случае дефолта — остаточную стоимость ценной бумаги RV.

Таким образом, с учетом риска наступления дефолта инвестор может

рассчитывать на получение i-го платежа в размере

(1 - Р)[pic]Сi,- + (1 – P)[pic]P*RV.

При этом текущая приведенная стоимость PV, такого платежа будет равна

PVi = [(1 - Р)[pic]С[pic] + (1 - P)[pic]P*RV]/(1 + r)[pic](

(3.2)

где r — безрисковая доходность (для долларовых облигаций — доходность

по US Treasuries или местному инструменту с минимальным риском дефолта).

РРыночная стоимость ценных бумаг равна сумме приведенных стоимостей

всех платежей, таким образом, зная рыночную цену, можно рассчитать

предполагаемую вероятность дефолта:

Bond price = [pic]. (3.3)

Такое распределение вероятности описывается экспоненциальной

зависимостью: D(T) = 1 – е[pic] — функция распределения вероятности дефолта

в течение срока, где р — плотность распределения вероятности дефолта.

Вероятность Р может быть выражена следующим образом:

Р = 1 - е[pic].

(3.4)

Отметим, что для большинства ценных бумаг (Тi - Т[pic]) величина

постоянная, т. е. величина Р не зависит от срока до погашения.

Формула для приведенной стоимости ценной бумаги может быть сведена к

следующей:

Bond price = [pic]( (3.5)

и задача сводится к нахождению р. Таким образом, зная величину, можно

определить годовую вероятность дефолта по формуле D = 1 - e[pic]. D(T) —

вероятность наступления дефолта в течение срока Т, где р — плотность

распределения вероятности дефолта (в нашем предположении р не зависит от

времени). dD(t) = (1 - D(t))pdt — приращение функции распределения

вероятности дефолта при приращении времени на dt. d(l -

D(t))/(l - D(t)) = -pdt. Отсюда D(t) = 1 – e[pic]. Вероятность

ненаступления дефолта в течение срока Тi равна произведению вероятности

ненаступления дефолта в срок Т[pic] на (1 - Р), т. е. е[pic](1 - Р) =

е[pic]. Отсюда P = 1 - e[pic].

Приведенная выше модель может быть использована инвесторами и

трейдерами для сравнения ценных бумаг сходного кредитного качества.

Например, при уровне остаточной стоимости 12% от номинальной стоимости

предполагаемая годовая вероятность дефолта по российским еврооблигациям в

начале марта составляла 9 — 11%.

В то же время по ОВГВЗ составляет от 11% (по 7-му траншу) до 25% (по 4-

му траншу), что говорит о несоответствии оценки ценных бумаг участниками

рынка и агентством Standard & Poor's, которое недавно уравняло рейтинги

ОВГВЗ и еврооблигаций на уровне ССС+.

Коммерческими банками такая модель может быть использована для расчета

маржи над безрисковой процентной ставкой для заемщиков с различным

рейтингом.

Рассмотрим ситуацию, когда в банке существует система внутренних

рейтингов заемщиков и некоторые кредиты имеют частичное покрытие, которое

может рассматриваться как остаточная стоимость в случае неисполнения

заемщиком своих обязательств.

Предполагается выдать кредит заемщику с рейтингом, предполагающим 10%-

ю вероятность неисполнения обязательств. Кредит подлежит погашению через

год с выплатой половины суммы через полгода и оставшейся суммы через год.

Если безрисковая ставка в данной валюте составляет 15%, а остаточная

стоимость 20% от суммы кредита, то согласно приведенной модели процентная

ставка должна составлять 23,85%.

В случае изменения рейтинга заемщика (оценки вероятности неисполнения

обязательств) с помощью этой же модели можно переоценить стоимость кредита.

Например, если через 3 месяца после выдачи кредита рейтинг заемщика

предполагает вероятность неисполнения обязательств 15%, а остаточная

стоимость оценивается в 10%, то стоимость такого кредита будет составлять

97,3%.

Рассмотрим еще один пример, где применяется данная модель. Компания

обращается в банк за возобновлением кредита. С момента подачи последней

заявки кредитоспособность компании, по мнению банка, упала и риск

кредитования возрос, по крайней мере, на 10 процентных пунктов, до 20%.

По сравнению с предыдущим разом в случае продажи займа на рынке вы

получили бы только 90 центов/долл. При той же оценке уровня остаточной

стоимости изложенная выше методология предлагает вам повысить ставку займа

на 10,4 процентных пунктов, с 23,85 до 34,25%.

Таким образом, модель оценки вероятности дефолта может быть

инструментом оценки рыночной стоимости существующих долгов, а также

механизмом определения процентных ставок по кредитам с учетом риска

заемщика.

Для трейдеров наряду с доходностью к погашению данная модель может

служить удобным инструментом для сравнения привлекательности облигаций

различных эмитентов, позволяя численно определить уровень риска дефолта.

Для коммерческих банков применение данной методологии осложнено

российскими реалиями, например:

• дифференциацией отношений компаний с кредиторами: одним платят,

другим нет;

• отсутствием внутрироссийских рейтингов компаний и др.

Тем не менее внутри банков рейтинги заемщиков должны существовать,

поэтому некоторые элементы предложенного подхода могут быть использованы

как элементы в создании внутрибанковских методик оценки рисков.

Рассмотрим как производится оценка доходности и риска ценных бумаг с

фиксированным доходом, в частности векселей и облигаций.

Сейчас трудно найти работу, в которой бы проводился вероятностный

анализ доходности и риска долговых обязательств. Скорее всего, это связано

с тем, что доходность такого рода бумаг не лежит в произвольно широких

пределах, как это имеет место для акций и паев взаимных фондов на акциях.

Моделируя ценные бумаги с фиксированным доходом, мы знаем параметры выпуска

(дата выпуска, цена размещения, дата погашения, число купонов, их размер и

периодичность). Единственное, чего мы не знаем, - это то, как будет

изменяться котировка этих бумаг на рынке в зависимости от текущей стоимости

заемного капитала, которая косвенно может быть оценена уровнем федеральной

процентной ставки страны, где осуществляются заимствования.

Идея вероятностного анализа долговых обязательств, представленная

здесь, состоит в том, чтобы отслоить от истории сделок с долговыми

обязательствами неслучайную составляющую цены (тренд). Тогда оставшаяся

случайная составляющая (шум) цены может рассматриваться нами как случайный

процесс с непрерывным временем, в сечении которого лежит нормально

распределенная случайная величина с нулевым средним значением и со

среднеквадратичным отклонением (СКО), равным ((t), где t – время наблюдения

случайного процесса. Ожидаемый вид функции ((t) будет исследован нами

позже.

Получим аналитический вид трендов долговых обязательств и для начала

рассмотрим простейшие случаи таких выражений, которые имеют место для

дисконтных бескупонных облигаций и дисконтных векселей.

Пусть бумага данного вида эмитирована в момент времени TI по цене N0 <

N, где N – номинал ценной бумаги. Тогда разница N – N0 составляет дисконт

по бумаге. Параметрами выпуска также определен срок погашения бумаги TM,

когда владельцу бумаги возмещается ее номинал в денежном выражении.

Пусть t – момент времени, когда инвестор собирается приобрести бумагу.

Определим ее справедливую рыночную цену С(t). Это выражение и является

трендом для случайного процесса цены бумаги.

Пусть время в модели дискретно, а интервал дискретизации - год.

Бумага выпускается в обращение в начале первого года, а гасится в конце n

– го. Тогда рыночная цена дисконтного инструмента, приобретаемого в начале

(k+1) – го года обращения бумаги, имеет вид:

[pic] (3.6)

где r – внутренняя норма доходности долгового инструмента,

определяемая по формуле:

[pic] (3.7)

Формула (3.6) предполагает, что на рынке имеются бумаги с той же самой

внутренней нормой доходности, что и наша, которые при этом имеют

реинвестируемые купонные платежи, а период реинвестирования равен одному

году. Если бы не так, то расчет следовало бы вести по формуле,

предполагающей, что период реинвестирования платежей совпадает с периодом

обращения дисконтного инструмента.

Получим аналоги формул (3.6) и (3.7) для непрерывного времени,

предполагая по ходу, что реинвестирование также идет в непрерывном времени

с периодом бесконечно малой длительности. Это делается следующим образом.

Разобъем весь период обращения ценной бумаги [TI, TM] на интервалы

числом n и длительностью

[pic] (3.8)

Обозначим t = TI + k * ( и применим к расчету рыночной цены бумаги

формулы (3.6) и (3.7). Это дает:

[pic], (3.9)

[pic] (3.10)

Предельный переход в (3.9) и (3.10) при ( ( 0 дает:

[pic] (3.11)

[pic] (3.12)

Рис. 3.1.1. Функция справедливой цены дисконтной облигации

Это и есть соотношение для справедливой цены дисконтной бумаги для

непрерывного времени. Качественный вид функции (3.10) представлен на рис.

3.1.1.

Сделаем предположение о характере шума цены. Для этого построим

частную производную цены по показателю внутренней нормы доходности бумаги:

[pic] (3.13)

Видно, что чувствительность цены к колебаниям процентной ставки имеет

нестационарный вид и убывает до нуля по мере приближения срока погашения

бумаги. Таким образом, резонно искать среднеквадратичное отклонение (СКО)

шума как функцию вида:

[pic] (3.14)

Ожидаемый вид СКО представлен на рис. 3.1.2.

С практической точки зрения это означает следующее. Мы наблюдаем

случайный процесс цен на бумаги, который можно обозначить H(t). Тогда шум

процесса имеет вид

[pic] (3.15)

где C(t) – тренд цены - определяется по (6.6).

Рис. 3.1.2. Ожидаемый вид функции СКО

Перейдем от нестационарного шума к стационарному введением

корректирующего делителя

[pic]. (3.16)

Тогда процесс (*(t) является стационарным, и в его сечении находится

случайная величина с матожиданием 0 и с СКО (0. И определение фактического

значения параметра (0 этого процесса может производиться стандартными

методами.

Теперь посмотрим, что делается со случайной величиной доходности

долгового инструмента, в процентах годовых:

[pic] (3.17)

где Т - период владения долговым инструментом.

Заметим здесь, что рыночная цена H(t), измеренная в момент t, не

рассматривается нами как случайная величина, так как ее значение в этот

момент известно. Эта же цена неизвестна в будущем времени (t + T) и

является случайной величиной, которая имеет нормальное распределение с

матожиданием С(t + T) и СКО ( (t + T) (эти функции вычисляются по формулам

(3.11) и (3.14)).

Cлучайный процесс доходности на интервале [t, t+T] в сечении имеет

параметры:

[pic] (3.18)

[pic] (3.19)

Рассмотрим пример анализа доходности дисконтной облигации.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент

времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 2

года c дисконтом 30%, то есть по эмиссионной цене N0 = 700$. Инвестор

намеревается приобрести бумагу в момент времени t =1. В этот момент текущая

цена бумаги на рынке составляет H(1) = 820$. Для проведения

статистического анализа доступна история сделок с бумагой за истекший год

ее обращения. Требуется идентифицировать доходность облигации R(t=1, T) на

протяжении оставшегося года владения ( T ( [0, 1] ) как случайный процесс и

определить параметры этого процесса.

Согласно (3.11), (3.12), внутренняя норма доходности нашей облигации

составляет

r = ln(1000/700) = 35.67% годовых, (3.20)

а справедливая цена

С(t) = 1000*exp(-(2-t)*0.3567/2), t ( [0, 2]. (3.21)

Далее следует этап анализа истории цены за истекший год. СКО шума

цены, согласно (3.14), имеет вид

[pic] (3.22)

где (0 определяется на основе анализа истории скорректированного шума

цены вида (3.16).

Теперь бумага полностью идентифицирована. Случайный процесс ее

доходности имеет параметры, которые определяются по формулам (3.18),

(3.19). В частности, на момент погашения бумаги Т = 1, C(2) = 1000$, ((1+1)

= 0, ((1+1) = 0, и R(1,1) = (1000-820)/(820*1) = 21.95% годовых –

неслучайная величина.

Оценим процесс количественно через Т = 0.5 лет владения бумагой,

задавшись параметром СКО шума (0 = 20$. Тогда

C(1.5) = 1000*exp(-(2-1.5)*0.3567/2) = 914.7$, (3.23)

[pic] (3.24)

[pic] (3.25)

[pic] (3.26)

Пусть бумага данного вида эмиттирована в момент времени TI по цене N0,

причем эта цена может быть как выше, так и ниже номинала (это обусловлено

соотношением объявленной купонной ставки и среднерыночной ставки

заимствования, с учетом периодичности платежей). Обозначим размер купона

(N, а число равномерных купонных выплат длительностью (( за период

обращения обозначим за K, причем для общности установим, что платеж по

последнему купону совпадает с моментом погашения бумаги.

Тогда временная последовательность купонных платежей может быть

отображена вектором на оси времени с координатами

[pic] (3.27)

Формула для справедливой цены процентного долгового инструмента имеет

вид:

[pic] (3.28)

где [pic] - (3.29)

номер интервала, которому принадлежит рассматриваемый момент t,

[pic] (3.30)

[pic], (3.31)

моменты (i определяются соотношением (3.27), а внутренняя норма

доходности долгового инструмента r отыскивается как корень трансцендентного

уравнения вида

С(TI) = N0. (3.32)

Если купон по процентной бумаге нулевой, то переходим к рассмотренному

выше случаю дисконтной бумаги.

Анализ соотношений (3.30) и (3.31) показывает, что шум цены, тренд

которой имеет вид (3.28), является нелинейно затухающей кусочной функцией

на каждом интервале накопления купонного дохода, причем шум получает как бы

две составляющих: глобальную – для всего периода обращения бумаги, и

локальную – на соответствующем моменту t интервале накопления купонного

дохода.

Исследуем характер шума цены процентной бумаги:

[pic] (3.33)

где C(t) – тренд цены - определяется по (3.28).

Руководствуясь соображениями, изложенными в предыдущем примере

дисконтных бумаг, будем отыскивать СКО шума цены в виде:

[pic] [pic] (3.34)

где [pic]

(3.35)

а i определяется по (3.29). Соотношение (3.35) является частной

производной справедливой цены (3.28) по показателю внутренней нормы

доходности бумаги с точностью до постоянного множителя.

Аналогично предыдущему примеру, мы можем получить нормировочный

делитель для шума цены процентной бумаги. Переход от нестационарного шума к

стационарному будет иметь вид:

[pic], (3.36)

где [pic]определяется по (3.35). При уменьшении величины купона до

нуля соотношение (3.34) переходит в (3.14), что косвенно подтверждает

правоту наших выкладок.

На рис. 3.1.3 приведен примерный вид тренда цены процентной бумаги, а

на рис. 3.1.4 – примерный вид СКО такой бумаги.

Рис. 3.1.3. Функция справедливой цены процентной бумаги

Рис. 3.1.4. Функция СКО процентной бумаги

Что касается доходности процентных инструментов, то формулы (3.17) –

(3.18) получают поправку в виде проплаченного за время Т купонного дохода:

[pic] (3.37)

где m – число оплаченных купонов процентной бумаги за период T.

Вывод о том, что случайный процесс [pic]имеет в своем сечении

нормальную величину, сохраняется без изменений. Параметры этой случайной

величины:

[pic] (3.38)

[pic] (3.39)

Рассмотрим расчетный пример.

Облигация номиналом N = 1000$ выпускается в обращение в момент

времени TI = 0 (далее все измерения времени идут в годах) сроком на 3

года c дисконтом 10%, то есть по эмиссионной цене N0 = 900$. По бумаге

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7