Моделирование процессов переработки пластмасс

Передача тепла в движущейся жидкости происходит по механизму

конвективного теплообмена, который осуществляется как за счет переноса

тепла током жидкости, так и за счет теплопроводности самой жидкости.

Аналитическое решение дифференциальных уравнений теплопроводности в случае

конвективного теплообмена удается получить лишь при введении большого числа

упрощений. Поэтому для практических целей используют результаты

экспериментальных исследований, представленные в виде зависимостей между

соответствующими критериями подобия. Обычно при изучении теплопередачи

конвекцией принимаются следующие допущения:

1) на границе с поверхностью нагрева (охлаждения) соблюдаются условия

прилипания; 2) физические параметры жидкости (теплоемкость,

теплопроводность, плотность и вязкость) сохраняют неизменное значение для

всего потока; 3) лучистый теплообмен между поверхностью нагрева

(охлаждения) и потоком жидкости происходит независимо от контактной

теплоотдачи.

В настоящее время наибольшее распространение получили экс*

периментальные исследования процессов стационарного теплообмена. Для

описания процесса теплообмена обычно используется известное уравнение

Ньютона:

[pic] (2.39)

где а — коэффициент теплоотдачи, определяющий количество тепла,

подводимое (или отводимое) к жидкости в единицу времени через поверхность с

единичной площадью;

Tw — температура стенки канала;

Тж — средняя температура жидкости.

По своему физическому смыслу коэффициент теплоотдачи является условной

величиной и характеризует отношение коэффициента теплопроводности жидкости

к толщине ? пристенного слоя, в котором происходит температурный скачок:

[pic] (2.40)

Использование методов теории подобия позволяет свести решение проблемы

теплообмена в потоке жидкости к экспериментальному определению вида

функциональной зависимости:

[pic] (2.41)

Здесь — [pic] критерий Нуссельта, характеризующий

интенсивность

теплообмена;

Рr = Ср?/( — критерий Прандтля, характеризующий соотношение между

количеством тепла, поглощаемого жидкостью за счет изменения энтальпии, и

количеством тепла, отводимого за счет теплопроводности;

Gr = g?P2lz?T/?2 — критерий Грасгофа, характеризующий интенсивность

теплообмена за счет свободной конвекции;

Re = vlp/ц — число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции

к силам вязкого трения;

Ре = vd/a — критерий Пекле;

[pic]— критерий Гретца.

Известные в настоящее время результаты экспериментального исследования

теплообмена в расплавах полимеров относятся преимущественно к течению в

каналах круглого сечения. Общая формула имеет вид:

[pic] (2.42)

где индексы «Ж» и «ст» Означают, что соответствующие значения критерия

относятся к усредненным характеристикам жидкости или к характеристикам

жидкости в пристенном слое.

Значения показателей степени при критериях в уравнении (2.42)

приведены ниже:

Таблица (3.1) Значения показателей степени при критериях подобия.

|Полимер |А |X |У |Z |Z1 |

|П Полиэтилен низкой |[pic] |0,33 |0,33 |0,15 |0,33 |

|плотности 16 | | | | | |

|П Полиэтилен низкой |2,25 |0,18 |0,20 |0,25 |0 |

|плотности 17 | | | | | |

2.5. Лучистый теплообмен

Нагрев излучением применяется главным образом в операциях,

предшествующих пневмо- и вакуум-формованию относительно тонких листов

термопластов.

Лучистая энергия передается в виде электромагнитных волн,

распространяющихся в пространстве до тех пор, пока на их пути не встретится

какая-либо поглощающая среда: газ, жидкость или твердое тело. Излучаемая

энергия пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры изучающего

тела. Так как обычно большая часть энергии излучения в применяемой на

практике области температур приходится на инфракрасный спектр, нагрев

излучением называют также инфракрасным нагревом.

Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется

абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспускания абсолютно черного тела

Еb определяется законом Стефана — Больцмана:

[pic] (2.43)

Где а — постоянная Стефана Больцмана, равная 1,36 • 10 -12 кал/(см2 •

с • /K4), или [pic]

Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная способность е

оценивается по формуле:

[pic] (2.44)

где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела.

Обычно ? зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды

и окислы металлов обладают высокой излучательной способностью (? ? 0,8). У

хорошо отполированных металлов излучательная способность невысока (? ? 0,1)

Реальные тела поглощают только часть попадающего на них излучения.

Коэффициент поглощения определяется как отношение поглощенного из

лучения к падающему.

При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение

попадает только та часть тела, которая просматривается с излучающего тела.

Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к

поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть

взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента

видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на

облучаемое тело.

Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на

черную поверхность 2, равна E1A1F12 (A1 — площадь излучателя, F12 — доля

энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что

A1F12 = A2F21

(2.45)

Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом теплообмене от

тела 1 к телу 2, равно:

Q12 = A1F12(E1-E2)

(2.46)

Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:

[pic] (2.47)

Наконец, если T2/T1 << 1 то выражение (2.47) сводится к виду:

[pic] (2.48)

Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли

многократно отраженного излучения. В случае двух бесконечных параллельных

пластин общее количество тепла, переданного с единицы поверхности,

выражается формулой:

[pic] (2.49)

где F? — коэффициент излучения, равный:

[pic] (2.50)

Коэффициент теплопередачи h определится из выражения, аналогичного по

форме уравнению Ньютона:

[pic]

(2.51)

Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфракрасное

излучение. Поэтому падающая на них энергия превращается в тепло

непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла

сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем

конвекции.

Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процессов

теплопроводности. Поэтому итоговое распределение температур в теле,

нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока

лучистой энергии, но также и от теплопроводности и конвективных потерь.

3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.

3.1. Специфика построения математических моделей описывающих

термодинамические процессы

Разработанные методы анализа термодинамики процессов переработки

полимеров позволяют устанавливать связь между основными технологическими

параметрами (давление, плотность, температура) с достаточно высокой

степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный

математический аппарат, позволивший обобщить огромный экспериментальный

материал.

Математические модели процессов теплопередачи базируются на

математическом аппарате, разработанном в классических исследованиях

теплопроводности в твердых телах. Общим недостатком известных решений

является допущение о независимости теплофизических характеристик от

температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и

теплофизические характеристики полимеров существенно зависят от температуры

и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует

обращать особое внимание на правильный выбор средних значений

соответствующих характеристик.

3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.

Для решения задач связанных с нахождением температурного поля

необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под

дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость между

физическими величинами характеризующими изучаемое явление, причем эти

физические величины являются функциями пространства и времени. Такое

уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в

любой момент времени.

Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между

температурой, временем и координатами элементарного объема.

Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом.

Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло

распространяется в одном направлении, например в направлении оси х ).

Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени.

Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный

параллелепипед, объем которого равен [pic] (рис. 3.1) Количество тепла,

втекающего через левую грань [pic] в параллелепипед в единицу времени,

равно [pic] а количество тепла, вытекающего через противоположную грань в

единицу

времени, равно [pic]

[pic]

Рис 1.3. Поток тепла через элементарный объём

Если [pic], то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда

разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна

теплу, аккумулированному данным элементарным параллелепипедом, т. е.

[pic] (3.1)

Величина [pic] есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд

Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:

[pic] (3.2)

Тогда из равенства (3.1) будем иметь:

[pic] (3.3)

Применяя уравнение теплопроводности [pic], получим:

[pic] (3.4)

Уравнение (3.5) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для

одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к

изотермическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три

составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного

элементарным объемом тепла будет равно сумме

[pic] (3.5)

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

[pic] (3.6)

Для симметричного одномерного температурного поля [pic] является

функцией одной координаты. Поясним это на примере бесконечного круглого

цилиндра. Если ось такого цилиндра совпадает с координатой z, то

температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и

у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке,

отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра, температура в данный момент

времени будет одна и та же. Следовательно, изотермические поверхности будут

представлять собой цилиндрические поверхности, коаксиально расположенные к

поверхности цилиндра. Между радиальной координатой r (радиус-вектор) и

координатами х и у существует связь

r2 = х2 + у2.

(3.7)

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного

цилиндра можно преобразовать так:

[pic] (3.8)

для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:

[pic] (3.9)

[pic] (3.10)

Дифференцируя (3.8) по х, а (3.10) по у, получаем

[pic] (3.11)

[pic] (3.12)

Складывая уравнения (3.11) и (3.12) и принимая во внимание (3.7),

получим для уравнения теплопроводности следующее выражение:

В общем случае, когда температура зависит от всех трех координат (х, у, г),

дифференциальное уравнение теплопроводности конечного цилиндра имеет вид

[pic]; (3.13)

4 СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА

Для решения дифференциального уравнения теплопроводности бесконечного

цилиндра воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в

разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения

искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в

крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части

координатной плоскости.

[pic];

(4.1)

Заменим частный дифференциал разностным отношением:

[pic]; (4.2)

Осуществим следующее преобразование функции:

[pic];

(4.3)

[pic]; (4.4)

[pic]; (4.5) [pic] (4.6)

[pic]; (4.7)

[pic]; (4.8)

Подготовим уравнение (4.8) для рекуррентного вычисления в MatLab V6.0

Произведём переобозначения:

[pic]; (4.9)

[pic]; (4.10)

[pic]; (4.11)

[pic]; (4.12)

[pic]; (4.13)

Имеем формулу:

T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-

2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1)))); (4.14)

В результате последовательных вычислений можно получить массив T

характеризующий температурное поле неограниченного цилиндра в любой момент

времени.

1.Программа начинается c задание переменных: начального и конечного

момента времени, числа дискретных отсчётов по времени, радиус цилиндра и

число его разбиений, констант характеризующих тепло-физические свойства

полимера.

2.Следующим этапом является вычисление шага аргументов, по которым

будет вычисляться исходная функция.

3.Краевые условия: значения искомой функции в начальный момент времени

t0 = 0 в зависимости от радиуса, и температуры стенки литникового канала в

любой момент времени задаются циклом For.

4.Каждому элементу вектора характеризующего температурное поле в

начальный момент времени присваивается значение температуры, вычисленное

как значение функции распределения вложенной в цикл. Число циклов

присвоения значений вектору увеличивают на два так-так его элементов на

один должно быть больше чем число интервалов разбиений и на одно значение

больше, чтобы было возможным вычисление значения массива в центре цилиндра

после перехода от внутреннего цикла к внешнему.

5.Каждому элементу вектора характеризующего температуру стенки канала

в любой момент времени присваивается постоянное значение температуры Число

циклов присвоения значений вектору увеличивают на один, так-так его

элементов на один должно быть больше чем число интервалов разбиений.

6.Для вычисления матрицы определяющей температуру цилиндра по радиусу

в любой момент времени используем два вложенных цикла For. Во внутреннем

цикле предусмотрено изменение радиуса цилиндра, и вычисление температурного

поля в заданный момент времени.

7.При переходе к внешнему циклу отсчёт по времени увеличивается на

единицу. Значение производной температуры по радиусу в любой момент времени

равно нулю и поэтому, чтобы учесть ещё одно краевое условие при переходе от

внешнего цикла к внутреннему значение последней температуры копируется два

раза.

8.После получения матрицы температур надо построить график. Чтобы

координатные оси были проградуированные удобно для использования в

матрице температур переставляют столбцы. Осуществляется это с

использованием двух вложенных циклов.

9.Далее следует вывод графика и градуировка его осей.

5 СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ

Программа для MatLab v6.0 R12 начинается очищения переменных

графических окон функций и окна вывода результата. Осуществляют это с

помощью: clear, clc, clf, clg

Чтобы программа была легка в использовании и проста в

конфигурировании под любые задачи разработаем её используя понятные

обозначения:

Задаём переменные:

начальный момент времени выбираем как t0=0;

конечный момент времени tk=120;

число дискретных отсчётов времени nt=120;

температура стенки Tc=30;

максимальная температура материала в середине цилиндра Tpol=170;

число дискретных отсчетов длинны цилиндра nR=10;

радиус цилиндра R=0.01 м;

температуропроводность полистирола a = 0.00000056 град/м с

Рассчитаем интервалы изменения температуры и радиуса

dr=R/(nR-1);

dt=(tk-t0)/(nt-1);

Присвоим начальные значения температуры стенки в цикле For:

for i=1:nt+1

T(i,1)=Tc;

end

Присвоим начальные значения температурного поля полимера в цикле:

for j=1:nR+2

T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end

Рассчитаем матрицу температурного поля T во вложенном цикле For:

for i=1:nt

for j=1:nR

r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-

2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));

end

T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);

T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);

end

Изменим порядок расположения столбцов обработав массив в двойном

цикле For :

for i=1:nt

for j=1:nR

TT(i,j)=T(i,nR-j+1);

end

end

Построим поверхность описывающую полученную функциональную

зависимость T(t,r):

figure(1)

mesh(TT)

Подпишем координатные оси

xlabel('R, MM')

ylabel('t, cek')

zlabel('T C')

6 АНАЛИЗ МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЁТОВ

В результате численного решения дифференциального уравнения с помощью

составленной программы получены данные, хорошо согласующиеся с

аналитическим решением дифференциального уравнения приведенным во второй

главе данной пояснительной записки.

Результаты получаемые с помощью данной программы можно использовать

для моделирований реальных технологических процессов связанных с

охлаждением и нагреванием цилиндрических каналов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М., ГИТТЛ, 1952. 391 с.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.,

«Наука», 1964. 487 с.

3. Кирпичев М. В., Михеев М. А. Моделирование тепловых

устройств. М.,изд-во АН СССР, 1936. 255 с.

4. Тябин Н. В. и др. В кн.: Теплообмен. 1974. Советские исследования. М.,

«Наука», 1975, с. 195—198.

5. Торнер «Технология переработки пластмасс», Москва, Московский

политехи, ин-т, 1965, № 1, с. 138—143.

ПРИЛОЖЕНИЕ1

clear, clc, clf, clg

t0=0;

tk=120;

nt=120;

Tc=30;

Tpol=170;

nR=10;

R=0.01;

dr=R/(nR-1);

dt=(tk-t0)/(nt-1);

a=0.00000056;

for i=1:nt+1

T(i,1)=Tc;

end

for j=1:nR+2

T(1,j)=Tpol*exp(-2000*(R-dr*(j-1))^2);

end

for i=1:nt

for j=1:nR

r=R-dr*(j-1)+0.0001*dr;

T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-

2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1))));

end

T(i+1,nR+1)=T(i+1,nR);

T(i+1,nR+2)=T(i+1,nR);

end

for i=1:nt

for j=1:nR

TT(i,j)=T(i,nR-j+1);

end

end

figure(1)

mesh(TT)

xlabel('R, MM')

ylabel('t, cek')

zlabel('T C')

ПРИЛОЖЕНИЕ2

[pic]

-----------------------

АППиЭ-2004

Лит.

Листов

Лит.

АНАЛИЗ

ИСХОДНЫХ

ДАННЫХ

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В ВА. В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

1

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АППиЭ-2004

-2004

9

Листов

Лит.

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

6

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АППиЭ-2004

-2004

3

Листов

Лит.

СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

17

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АППиЭ-2004

-2004

3

Листов

Лит.

СОСТАВЛЕНИЕ ПРОГРАММЫ

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

17

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АППиЭ-2004

-2004

3

Листов

Лит.

СОСТАВЛЕНИЕ

АЛГОРИТМА

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

17

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АНАЛИЗ

МОДЕЛИРОВАНИЯ

И РАССЧЁТА.

Овсянников А В

Утверд.

Н. Контр.

Реценз.

Овсянников А В.

Провер.

Кардаш А. В.

Разраб.

БГТУК 4 40 08 01 03 ПЗ

17

Лист

Дата

Подпись

№ докум.

Лист

Изм.

АППиЭ-2004

-2004

3

Листов

Страницы: 1, 2