Управление банковскими ресурсами на основе теории нечетких множеств

называются соответственно объединением и пересечением нечетких отношений А и В на множестве Х.

Для функции принадлежности получаем

Говорят, что нечеткое отношение В включает в себя нечеткое отношение А, если для нечетких множеств А и В выполнено . Для функций принадлежности этих множеств неравенство выполняется при любых . В рассмотренном выше примере отношений ( ? ) и ( >> ) нечеткое отношение содержится в отношении R, т.е. должно быть для любых чисел .

Если R - нечеткое отношение на множестве X, то нечеткое отношение R, характеризующееся функцией принадлежности

,

называется дополнением в Х отношения R.

Дополнение имеет смысл отрицания исходного отношения. Например, для нечеткого отношения R=(лучше) его дополнение R` (не лучше).

Обратное к R нечеткое отношение R-1 на множестве Х определяется следующим образом:

или с помощью функций принадлежности:

.

Важное значение в прикладных задачах имеет произведение или композиция нечетких отношений. В отличие от обычных отношений, произведение нечетких отношений можно определить различными способами. Здесь мы приведем некоторые из возможных определений этой операции. [3]

Определение 3.11.

Максиминное произведение нечетких отношений А и В на множестве Х характеризуется функцией принадлежности вида

.

В случае конечного множества Х матрица нечеткого отношения равна максиминному произведению матриц отношений А и В, т.е. получается с помощью тех же операций, что и матрица произведения обычных отношений.

Определение 3.11а.

Минимаксное произведение нечетких отношений А и В на Х определяется функцией принадлежности вида

Определение 3.11б.

Максимультипликативное произведение нечетких отношений А и В определяется функцией принадлежности

Для сравнения друг с другом введенных операций произведения приведем простой пример произведения отношений А и В на конечном множестве X, состоящем из двух элементов.

Пример.

Проекции нечетких отношений.

Выберем некоторое число y и рассмотрим множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что (рис. 3.8), т.е. множество вида .

Для фиксированного множество R(y) образовано всеми числами из интервала [0,1], не меньшими y. Объединение всех таких множеств по всем называется первой проекцией R(1) отношения R, т.е.

.

Множество R(1) обладает тем свойством, что для каждого его элемента x найдется элемент y , что (в данном примере ). [3]

Рис. 3.8. Множество всех чисел x из интервала [0,1] таких, что

Если аналогичным образом ввести множества вида

и взять их объединение по всем , то получим вторую проекцию R(2) отношения R:

.

Для любого элемента найдется такой элемент , что (в данном примере ).

В приведенном примере первая и вторая проекции отношения R ( ? ) совпадают со всем интервалом [0, 1], т.е. . Более общий случай иллюстрирует рис. 3.9.

Рис. 3.9. Общий случай проекции

Легко проверить, что декартово произведение представляет собой наименьшее прямоугольное множество, содержащее R.

Вернемся к нечетким отношениям. Пусть R - нечеткое отношение на множестве X с функцией принадлежности . Для произвольного нечеткое множество R(y) представляет собой нечеткое множество элементов x множества X, связанных с выбранным y отношением R. Функция принадлежности этого множества имеет вид , где y - фиксированный элемент множества X. Например, для нечеткого отношения R=(близко к), заданного на числовой оси, множество R(y) можно понимать как нечеткое множество чисел, близких к выбранному числу y.

Объединение нечетких множеств R(y) по всем называется первой проекцией R(1) нечеткого отношения R. [3]

Согласно определению операции объединения нечетких множеств функция принадлежности имеет вид

.

Если - декартово произведение первой и второй проекций нечеткого отношения R, то . Этот факт следует из определения функции принадлежности декартова произведения нечетких множеств:

Пример.

Пусть матрица нечеткого отношения R на множестве имеет вид

Тогда функции принадлежности первой и второй проекции этого отношения таковы:

Свойства нечетких отношений.

Рефлексивность.

Нечеткое отношение R на множестве X называется рефлексивным, если для любого выполнено равенство

.

В случае конечного множества X главная диагональ матрицы рефлексивного нечеткого отношения R состоит целиком из единиц. Примером рефлексивного нечеткого отношения может служить отношение "примерно равны" в множестве чисел.

Антирефлексивность.

Функция принадлежности антирефлексивного нечеткого отношения обладает свойством

при любом . Антирефлексивно, например, отношение "много больше" в множестве чисел. Ясно, что дополнение рефлексивного отношения антирефлексивно.

Симметричность.

Нечеткое отношение R на множестве X называется симметричным, если для любых выполнено равенство

.

Матрица симметричного нечеткого отношения, заданного в конечном множестве, симметричная. Пример симметричного нечеткого отношения - отношение "сильно различаться по величине".

Антисимметричность.

Функция принадлежности антисимметричного нечеткого отношения обладает следующим свойством:

Это свойство можно описать и следующими двумя эквивалентными способами:

Антисимметричным, например, является нечеткое отношение "много больше".Заметим, что не всякое нерефлексивное (несимметричное) отношение является антирефлексивным (антисимметричным).

Транзитивность.

Нечеткое отношение R на множестве Х называется транзитивным, если .

Из этого определения видно, что свойство транзитивности нечеткого отношения зависит от способа определения произведения нечетких отношений. Если обозначить через максиминное, минимаксное и максимультипликативное произведения отношения R само на себя, то нетрудно убедиться в том, что . Действительно, при любых выполняются неравенства

из которых и вытекают соответствующие включения. [3]

Если к слову транзитивность приписывать название соответствующей операции произведения нечетких отношений, то получаем: (минимаксная транзитивность R) => (максиминная транзитивность R) => (максимультипликативная транзитивность R). Иными словами, нечеткое отношение, обладающее свойством минимаксной транзитивности, обладает транзитивностью и двух других типов, а отношение, обладающее максимультипликативной транзитивностью, может, вообще говоря, и не быть транзитивным в двух других смыслах. [3]

Для обычного отношения, т. е. в случае, когда функция принимает лишь значения 0 и 1, максиминная и максимультипликативная транзитивности эквивалентны обычной транзитивности отношения.

Всюду ниже под транзитивностью нечеткого отношения мы будем понимать максиминную транзитивность, т. е. считать, что при любых функция принадлежности транзитивного нечеткого отношения R на множестве X удовлетворяет неравенству

.

Транзитивным, например, является рассматривавшееся ранее нечеткое отношение .

Транзитивное замыкание нечеткого отношения R определяется по аналогии с обычными отношениями:

Нетрудно проверить, что транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение и что транзитивное нечеткое отношение совпадает со своим транзитивным замыканием. [3]

4. ПРОБЛЕМА УПРАВЛЕНИЯ БАНКОВСКИМИ РЕСУРСАМИ В СВЕТЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

4.1 Описание проблемы

Проблема формализации банковской деятельности и управления ресурсами банка как динамической системы актуальна и является одной из ведущих проблем современности. В работе рассмотрен сравнительно новый класс задач принятия решений, полученный путем объединения идей нечеткости и методик организации банковской деятельности.

В конкретных приложениях в технике, управлении, экономике или экологии подобные проблемы могут обладать самыми различными специфическими особенностями, в связи с чем построение единой "универсальной" методики, позволяющей без адаптации решать многокритериальные задачи в различных отраслях, представляется нецелесообразным как с методической, так и практической точек зрения. [5]

В то же время анализ важнейших проблем постановки и решения многокритериальных задач, а также накопленный опыт решения этих задач в различных отраслях, позволили сделать вывод о целесообразности и методической обоснованности разработки некоторой "базовой". Такая "базовая" методика должна обеспечивать разрешение ключевых проблем, присущих всем многокритериальным задачам, независимо от конкретных приложений.

Разработка "базовой" методики требует комплексного решения сформулированных проблем, в первую очередь, адекватного учета неопределенностей нестатистического характера. Последнее, в свою очередь, ставит на повестку дня необходимость дальнейшего развития математического аппарата теории нечетких множеств исходя из практических потребностей, возникающих в ходе постановки и решений многокритериальных задач управления банковскими ресурсами. [6]

В задачах формализации функционирования банка как системы управления необходимо учитывать такие исходные положения:

Основными видами управленческих действий являются:

· привлечения ресурсов, которые имеют разные свойства;

· распределение совокупного портфеля ресурсов соответственно принятых в банка стратегических и тактических решений. [5]

Ресурсами считают все допустимые объекты финансовой деятельности, использования которых имеет разноплановый характер. Главными критериями эффективности управленческой деятельности есть, как минимум, выполнения обязательных экономических нормативов и достижение высоких текущих и глобальных оценочных показателей, которые во многом определяются на качественном уровне. Чаще всего целесообразно, а иногда и необходимо, акцентировать внимание на вопросах, обусловленных стратегической политикой банка, социальными процессами, которые происходят, то есть слабо структурированными аспектами банковской деятельности. [5]

Несмотря на разную природу ресурсов, широкую диверсификацию операций, противоречивость критериев эффективности, сложность и многообразия влияния микро- и макросреды, нестационарные динамические процессы, применяемый математический аппарат, с одной стороны, должен быть довольно простым и конструктивной относительно анализа и синтеза стратегий тактического управления, а с другого - универсальным и адекватно отображать действительность. [5]

Важной особенностью управления банковскими ресурсами являются имеющиеся факторы неопределенности, случайности, неточности. Причины неопределенности - отсутствие, неполнота (недостаточность, неадекватность), недостоверность информации. Нечеткость принятия решений обусловленная субъективностью руководства банка, неточностью выводов и интерпретации данных, сложностью и (или) разнообразием выводов. Вероятностные модели в подобных случаях могут оказаться не только неэффективными, а и вредными. Наиболее адекватным математическим аппаратом для учета всего комплекса неопределенностей есть методы теории нечетких множеств. [6]

4.2 Модели управления, основанные на теории нечетких множеств

Синтез моделей управления банковскими ресурсами на основе методов теории нечетких множеств базируется на рассмотрении конечного множества X, что состоит из ряда элементов в виде:

Одна из его подмножеств G может быть приведена в виде и характеризуется функцией :

Таким образом, понятия принадлежности получает обобщения, которые предопределяет полезные результаты, которые дают возможность учитывать многозначность и неопределенность на разных стадиях планирования и управления. [5]

Нечеткое подмножество можно четко определить.

Пусть X - множество, x - элемент множества X. Тогда нечеткое подмножество множества X определяется как множество упорядоченных пар:

,

где - характеристическая функция принадлежности, которая принимает значения в полностью упорядоченном множестве M, которое указывает степень или уровень принадлежности элемента X подмножеству . Множество M - множество принадлежности. [5]

4.3 Формальное описание ресурсов банка на основе теории нечетких множеств

Описание ресурсов предусматривает деление их на две группы:

1. ресурсы, принадлежность которых в банк не вызовет сомнений;

2. ресурсы, принадлежность которых относительная.

Если предприятие, которое взяло кредит, является многолетним партнером банка, перспективы его развития известные, то принципиально нетрудно оценить вероятность возвращения кредита. Это и будет мера принадлежности данного ресурса банка. Если же кредит предоставлен предприятию, которое только начинает свою деятельность, то есть относительно его функционирования нет никакой статистики, то степень надежности возвращения кредита, а итак и степень его принадлежности банка, будет явным образом не вероятностной характеристикой.

Ресурсы банка можно рассматривать как определенную математическую конструкцию. Есть некоторое множество X, так называемое генеральное множество. Если рассматривать совокупность {X} ее нечетких подмножеств, то фиксированный конечный набор из этой совокупности и является ресурсной базой банка. [5]

Операции с ресурсами банка формально есть операциями с нечеткими множествами:

· равенства;

· дополнения;

· включения;

· пересечения;

· объединения;

· разности;

· декартового произведения;

· выпуклой комбинации нечетких множеств;

· концентрирования и растягивания нечеткого множества.

Отсюда получается, что ресурсы банка - это конечный набор упорядоченных пар

Любую нечеткое множество можно представить в виде разложения множества в виде уравнения:

,

где,

.

С этим определением связано и понятие носителя, который задается выражением

.

Нечеткое подмножество G множества X подают в прямоугольной системе координат, в которой на оси ОХ откладывают X, а на оси ОY - множество принадлежностей М. Если X - целиком упорядоченное множество, то такой самый порядок должен сохраняться в расположении элементов на оси абсцисс.

Рис.4.1. Задание нечеткого множества

На рис.4.1. принадлежность каждого элемента изображенная его ординатой, заштрихованная часть отображает нечеткое подмножество .

Множество X определяет совокупность всех банковских ресурсов, а нечеткое множество G - подмножество ресурсов банка, необходимую, например, в случае комиссионно-посреднического обслуживания.

Операцию дополнения можно интерпретировать как недоступность ресурсов (нечетким множеством G можно представить, например, совокупность обязательных резервов коммерческого банка). [5]

Вместе с тем любая совокупность нечетких множеств

может определенной мерой характеризовать банковские ресурсы, то есть срок "принадлежности" трактуется существенным образом шире, чем "иметь". Например, за формализацией методов анализа ликвидности нечеткость описывает временные и стоимостные свойства реализации ресурсов.

Операция включения может быть интерпретирована в такой способ. Свойства ресурса A вообще не худшие (не лучшие), чем ресурса B. Операция включения наиболее наглядно иллюстрирует задача управления пассивами, когда нужно оценить необходимое количество ресурсов в данный промежуток времени. Если нечеткое множество A определяет ресурсы, израсходованные на проведение депозитных операций в некоторый период времени, а B - в один и тот же период времени, но с излишком, то на основании операции включения можно определить оптимальное количество ресурсов на данный промежуток времени. [5]

Операция нечеткой принадлежности фактически означает, что свойство одного ресурса не худшее от свойств другого; операция нечеткого дополнения инвертирует свойства (например, вместо имеющегося ресурса с низкой ликвидностью надо привлечь ресурс с высокой) и т.п..

Предположим, что рост прибыли определяется в планах на качественному равные сроками: очень маленький, маленький, сравнительно маленький, средний, небольшой, большой, сравнительно большой, очень большой. На рис. 2 приведен функции принадлежности, которые характеризуют маленький, средний и большой приросты. Видно, что кривые в принципе связанные с некоторой величиной прироста прибыли, но их форма задает степень "размытости" числовых характеристик каждого из понятий: маленький, средний и большой прирост. В этом примере функция принадлежности связанная с универсальным множеством и описывает степень нечеткости, которая укладывается в указанные выше дефиниции. Чаще функция принадлежности связанная с некоторой оценочной функцией. [5]

Рис. 4.2. Варианты нечеткого задания прироста прибыли: 1 - маленький; 2 - средний; 3 - большой прирост

На рис.4.3. приведены функции принадлежности, которые характеризуют некоторую интегральную оценку ликвидности пяты ресурсов: с маленьким, высоким, средним, не средним и не очень высоким, очень маленьким и не очень высокой степенью ликвидности. [5]

Рис.4.3.Варианты нечеткого задания ликвидности ресурсов: 1 - маленький; 2 - высокий; 3 - средний; 4 - не средний и не очень высокий; 5 - не очень маленький и не очень высокий уровень ликвидности

Предположим, что ресурсы, которые отвечают кривым 4 и 5 используются совместно:

· объединяются для общего использования в общем объеме (ликвидность не очень маленькая, не средняя и не очень высокая, что отвечает операции нечеткого сечения (рис.4, а);

· объединяются в один портфель для использования частями, без деления источников (ликвидность не средняя, не очень высокая, но может быть и маленькой, рис. 4, б, и отвечает операции нечеткого объединения).

Таким образом, управления ресурсами банка можно формально рассматривать как операции с нечетким множеством, содержание которых может быть интерпретирован любым удобным способом. В общей оценке эффективности работы банка важную роль сыграет точная оценка общего объема его ресурсов. Тогда в любой матрице (относительно свойств рефлексивности, симметричности, транзитивности и неопровержимости) необходимо найти четкие подмножества, которые приближают банковские ресурсы, к нечетким подмножествам E. [5]

Рис.4.4a - Варианты нечетких операций с ликвидностью

Рис.4.4б - Варианты нечетких операций с ликвидностью

В рассмотренных примерах для повышения наглядности использована нечеткость, обусловленная субъективностью восприятия, распространенную в задачах управления в банковской сфере. Так, чем больший объем свободного средства, тем стабильнее данный банк, но и тем меньшая прибыль он получает. Наоборот, чем меньший объем свободного средства, тот менее стабильный банк, но и тем большая прибыль он получает. Поэтому каждый коммерческий банк стремится к тому, чтобы оптимизировать объем свободного средства. [5]

На практике больший интерес составляют другие виды неопределенности:

· недостаточность,

· неадекватность,

· недостоверность используемой информации как о макро- и микросреда, так и о целях банка и ограничения его деятельности. [5]

Приведенный инструментальный аппарат служит основой для разработки автоматизированных систем поддержки принятия управленческих решений. В особенности актуальной автоматизация становится в случае увеличения клиентуры, масштабной диверсификации, возрастания количества конкурентов и уровня конкурентной борьбы. Как правило, большинство задач принятия управленческих решений в банке основано на том, что и цель, и множество альтернатив рассматриваются как равноправные нечеткие подмножества некоторого универсального множества альтернатив. Нечеткой целью принятия решений является нечеткое множество типа: "желательно, чтобы прибыльность данной операции была не ниже средней", "после предоставления кредита ликвидность должна быть не слишком маленькой", "приблизительно через трех недели необходимо, в границах допустимого, значительно увеличить показатель рефинансирования". Чем большая степень принадлежности альтернативы нечеткому множеству, тем выше достижения этой цели в случае выбора данной альтернативы как решения. [6]

Нечеткие ограничения или множества допустимых альтернатив также описываются нечеткими множествами типа:

· кредитная деятельность должна быть эффективной (чистый процентный спред положительный)";

· "чистая процентная маржа должна быть положительной".

Решить задачи управления банковскими ресурсами вообще означает достижения цели и соответствие ограничениям. Итак, нечетким решением задачи достижения нечеткой цели есть пересечение нечетких множеств цели и ограничений. [5]

4.4 Применение теории нечетких множеств к финансовому анализу деятельности коммерческого банка

В практике финансового анализа хорошо известен ряд показателей, характеризующих отдельные стороны текущего финансового положения коммерческого банка. Сюда относятся показатели ликвидности, рентабельности, устойчивости, оборачиваемости капитала, прибыльности и т.д. По ряду показателей известны некие нормативы, характеризующие их значение положительно или отрицательно.

В Инструкции ЦБ РФ №1 "О порядке регулирования деятельности банков" записано, что "в целях обеспечения экономических условий устойчивого функционирования банковской системы Российской Федерации, защиты интересов вкладчиков и кредиторов и в соответствии с Федеральным законом России "О Центральном банке Российской Федерации (Банке России)" ЦБ РФ устанавливает обязательные экономические нормативы деятельности банков. [6]

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6