Реферат: Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

Реферат: Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................................3

§1 Классификация тесных двойных

систем.............................................

§2 Алгоритм

ZET..........................................................................

...............

§3 Применение метода ZET...................

ВЫВОДЫ.......................................................................

................................

ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................

..........................

ЛИТЕРАТУРА...................................................................

............................

ВВЕДЕНИЕ.

Изучение фотометрических и абсолютных элементов тесных двойных систем,

находящихся на разных стадиях эволюции, представляет большой интерес с

точки зрения статистического исследования этих систем, изучения

строения Галактики, а также теории происхождения и эволюции одиночных и

двойных звезд. Одной из важных характеристик тесных двойных систем

является отношение масс мене массивной компоненты к более массивной

q=m2/m1 . Отношение масс позволяет уточнить эволюционный тип звезды,

определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости Роша), а

также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых в

данной работе, у которых обе компоненты близки друг к другу и практически

наполняют пределы полости Роша, отношение масс q, кроме всего прочего,

определяет конфигурацию всей системы (зависящую от большой полуоси A,

отношения масс q, угла наклона i).

Однако, отношение масс q известны точно для очень малого числа систем,

имеющих данные спектроскопических наблюдений. Фотометрические же данные,

полученные, как правило, с помощью метода синтеза кривых блеска, не являются

надежными, так как этот метод позволяет получить точное решение лишь для

симметричных кривых блеска. Так, например, у контактных систем, исследуемых

в данной работе, вследствие близости компонент друг к другу, кривые блеска

сильно искажены газовыми потоками, пятнами и околозвездными газовыми

оболочками.

Для статистических исследований представляет значительный интерес хотя бы

приближенная оценка относительных и абсолютных параметров тех затменных

систем, для которых элементы спектроскопической орбиты неизвестны и прямое

вычисление их абсолютных характеристик не представляется возможным.

М.А. Свечников и Э.Ф. Кузнецова в [2] для такой приближенной оценки

использовали статистические соотношения (масса - радиус, масса - спектр,

масса - светимость и др.) для компонент различных типов, а также ряд других

статистических зависимостей. Из-за того, что использованные для определения

элементов статистические зависимости носят приближенный характер, следует

ожидать, что для многих систем найденные в [2] приближенные элементы

окажутся неточными и даже ошибочными. Это обусловливает необходимость

теоретических подходов к оценке параметров затменных переменных звезд. В

изученной статье [1] отношение масс компонент q и спектральный класс

главной компоненты Sp1 для звезд типа W UMa определяется с помощью

статистического метода ZET, разработанного в Международной лаборатории

интеллектуальных систем (Новосибирск) Н.Г. Загоруйко. Метод ZET применялся

для восстановления глубины вторичных минимумов звездных систем типа РГП

(ошибка прогноза составила 5-8%), спектров звезд этого типа, спектров класса

главной компоненты контактных систем типа KW и отношения масс. Точность

восстановления доходила до 10% и только для q этот результат был завышен.

Была составлена таблица, в которую включены q, полученные разными авторами,

для некоторых отдельных систем значения q имеют очень большие расхождения.

Поэтому цель данной работы улучшить качества восстановления q методом ZET.

§1. Классификация тесных двойных систем.

В 1967-69 гг. М.А.Свечниковым была разработана классификация тесных

двойных систем, сочетающая достоинства классификации Копала(1955),

учитывающей геометрические свойства этих систем (размеры компонент по

отношению к размерам соответствующих внутренних критических поверхностей

(ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962 гг.), основанной на физических

характеристиках компонентов, входящих в данную систему. Эта классификация

удобна при статистических исследованиях тесных двойных звезд, и, будучи

проведена по геометрическим и физическим характеристикам компонентов

затменных систем (отношению размеров компонентов к размерам соответствующих

ВКП, спектральным классам и классам светимости компонентов), оказывается в то

же время связанной с эволюционными стадиями затменных систем, определяемыми

их возрастом, начальными массами компонентов и начальными параметрами орбиты

системы.

Как было показано в работе М.А.Свечникова (1969), подавляющее большинство

изученных затменных переменных звезд (т.е. тех систем, для которых

определены фотометрические и спектроскопические элементы) принадлежит к

одному из следующих основных типов:

1. Разделенные системы главной последовательности (РГП), где оба компонента

системы являются звездами главной последовательности, не заполняющими

соответствующие ВКП, обычно не приближающиеся к ним ближе по размерам чем

¾

2. Полу разделенные системы (ПР), где более массивный компонент является

звездой главной последовательности, обычно далекой от своего предела Роша, а

менее массивный спутник является субгигантом, обладающим избытком

светимости и радиуса и близким по размерам к соответствующей ВКП.

3. Разделенные системы с субгигантом (РС), у которых, в отличии от ПР-

систем, спутник-субгигант, несмотря на большой избыток радиуса, не

заполняет свою ВКП, а имеет размеры, значительно меньшие, чем последняя.

4. "Контактные" системы, в которых компоненты близки по своим размерам к

соответствующим ВКП (хотя и не обязательно в точности их заполняют). Эти

системы подразделяются на два разных подтипа:

а) Контактные системы типа W UMa (KW), имеющие, в большинстве случаев,

спектры главных компонентов более поздние, чем F0. Главные (более массивные)

компоненты у этих систем не уклоняются значительно от зависимостей масса-

светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности в то

время, как спутники обладают значительным избытком светимости (подобно

субгигантам в ПР и РС-системах), но не обладают избытком радиуса (вследствие

чего они располагаются на диаграмме спектр-светимость левее главной начальной

последовательности, примерно параллельно ей);

б) Контактные системы ранних спектральных классов (КР) (F0 и более ранние),

где оба компонента, близкие по размерам к своим ВКП, тем не менее, в

большинстве случаев не уклоняются значительно от зависимостей масса-

светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности.

5. Системы, имеющие хотя бы один компонент, являющийся либо сверхгигантом,

либо гигантом позднего спектрального класса (С-Г). Такие системы сравнительно

многочисленны среди изученных затменных переменных вследствие их высокой

светимости и необычных физических характеристик, но в действительности они,

по-видимому, должны составлять лишь небольшую долю от общего числа тесных

двойных систем.

6. Системы, у которых, по крайней мере, один компонент лежит ниже главной

последовательности и является горячим субкарликом или белым карликом (С-

К). Сюда же были отнесены и системы, один из компонентов, которых является

нейтронной звездой или "черной дырой", а также системы с WR-компонентами.

Подобная классификация была выполнена ранее М.А.Свечниковым (1969) для 197

затменных систем с известными абсолютными элементами. Она могла быть

более или менее уверенно проведена также для затменных переменных с

известными фотометрическими элементами, у которых можно каким-либо образом

оценить и отношение масс компонентов q=m2/m1 и тем самым определить

относительные размеры соответствующих ВКП. Так, из примерно 500 затменных

систем с известными фотометрическими элементами, имеющихся в карточном

каталоге М.А.Свечникова, надежную классификацию можно было провести для

367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому или иному типу

имеется некоторая степень неуверенности, обычно из-за отсутствия или

ненадежности имеющихся данных о величине q.

§2 Алгоритм ZET.

Алгоритм ZET предназначен для прогнозирования и редактирования (проверки)

значений в таблицах "объект-свойство". В таких таблицах строки соответствуют

рассматриваемым объектам, а столбцы есть значения характеристик, описывающих

эти объекты. Таким образом, на пересечение строки с номером "i" и столбца с

номером "j", будет находиться значение j-ой характеристики для i-го объекта.

Клетку таблицы, расположенную на пересечение i-ой строки и j-го столбца,

обозначим символом Aij. Пусть значения Aij неизвестно. Можно достаточно

уверенно предсказать это значение, если использовать имеющиеся в таблице

закономерности. В реальных таблицах многие столбцы связаны друг с другом.

Есть в таблицах и строки, похожие друг на друга по значениям своих

характеристик. В алгоритме ZET выявляются такие связи, и на их основе

выполняется предсказание искомого значения. Предсказание осуществляется

на основе принципа локальной линейности. Это одна из основных идей,

позволившая построить эффективный метод и получать хорошие результаты. Она

заключается в том, что предсказание выполняется не на всей информации,

имеющейся в таблице, а только на той ее части, которая наиболее тесно

связана со строкой и столбцом, в которых этот пробел находится. Другими

словами, в алгоритме ZET, в отличии от многих других алгоритмов

заполнение пробелов, реализуется "локальный" подход к предсказанию каждого

пропущенного значения. Для вычисления этого значения строится своя

"предсказывающая подматрица", содержащая только имеющую отношение к делу

информацию. В подматрицу отбираются в порядке убывания сходства строки,

т.е. строки, самые похожие на строку, содержащую интересующий нас пробел,

а затем для выбранных строк отбираются также в порядке убывания сходства

столбцы "самые похожие" на столбец, содержащий этот пробел.

			1 . . . k j . . . n
	1 : i l : m

		Фaik	Aaij
		Aalk	Aalj

Предсказание элемента Aij по k-му столбцу Aij(k) делается на основание

гипотезы о линейной зависимости между столбцами, при этом сначала

вычисляются коэффициенты линейной регрессии Вjk и Сjk ,и по ним

находится элемент Aij(k):

Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk.

После того, как будут сделаны предсказания Аij(k) по всем р столбцам, не

имеющим пропуска в i-ой строке, вычисляется средневзвешенная величина

элемента:

Aij(стб)=(Aij(k)*Qkj)/(Qkj)

Вклад каждого столбца (строки) в результат предсказания зависит от их

"компетентности" Q, являющейся функцией двух аргументов: "близости" между

j-м и k-м столбцами (i-ой и l-ой строками) и "взаимной заполненность" этих

столбцов (строк). "Близость" представляет собой степенную функцию модуля

коэффициента линейной корреляции (Rkj)а (или (Ril)а). "Взаимная

заполненность" k-го и j-го столбцов (Lkj) равна числу непустых пар элементов

этих столбцов Alk и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда:

Qil=(Ril)a*Lil

Qkj=(Rkj)a*Lkj .

Выбор показателя степени а осуществляется следующим образом, при каждом из

последовательных значений а (из некоторого заданного диапазона

amin<a<amax) выполняется предсказание всех известных элементов k-го

столбца матрицы A(i,j). При каждом a вычисляется расхождение между

фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания Aij выбирается то

из значений a, при котором была получена лучшая средняя точность dj

предсказания этих известных значений. Легко увидеть, что, чем больше (Rkj)a,

тем с большим весом будут учитываться сведения от самых "похожих" столбцов и

тем сильнее будут подавляться подсказки от менее "похожих".

Аналогичная процедура построения формулы и оценки точности вычисления всех

элементов i-ой строки выполняется для проверки возможности предсказания

Aij как элемента строки.

Aij(стр)=(*Qil)/()

Данные в матрице A(i,j) предварительно нормированы так, чтобы элементы

каждого столбца изменялись в пределах от 0 до 1. После получения оценок

предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с которой удалось

предсказать известные элементы i-ой строки di и j-го столбца dj.

Окончательно для предсказания выбирается либо Aij(стб), либо Aij(стр),

в зависимости от того, где точность d оказалась выше. Эта точность

рассматривается в качестве ожидаемой ошибки предсказания Aij.

Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные этапы:

1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных данных по дисперсиям.

2. Выбирается пробел Aij, находящийся на пересечение i-ой строки и j-го

столбца.

3. При определение сходства столбцов производится их предварительная

нормировка к интервалу [0,1], и для строк и для столбцов степень сходства

определяется на основе евклидова расстояния

rев=[]1/2 ,

где Xj, Yj - соответственно значения j-го свойства объектов X и Y. Использование

такой меры сходства и обуславливает применимость алгоритма к таблицам данных,

представленных в сильных шкалах, для которых операции, использованные в

формуле, являются допустимыми преобразованиями. По расстоянию rев

выбирается заданное число объектов-аналогов, а для них- свойств-аналогов.

4. В матрице, состоящей из отобранных строк, столбцы нормируются к интервалу

[0,1] и выбирается заданное количество столбцов, наиболее сильно связанных

с j-м.

5. По исходной таблице формируется "предсказывающая" подматрица, составленная

из элементов, находящихся на пересечении i-ой и ближайшей к ней строк с j-м

и ближайших к нему столбцами.

6. Столбцы полученной подматрицы нормируются к интервалу [0,1].

7. Из уравнений линейной регрессии для k-го элемента Aij вычисляются

"подсказки" Aij от строк и (или) столбцов "предсказывающей" подматрицы.

8. Находится коэффициент а, определяющий степень учета взаимного сходства

столбцов (строк) подматрицы при вычислении итогового значения

прогнозируемого элемента Aij.

9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела.

10. Значения, вычисленные в режимах заполнения в зависимости от входных

условий, заносятся в таблицу сразу же после вычисления каждого из них или

только после окончания прогнозирования значений для всех пробелов таблицы.

11. Пункты 1-10 повторяются. Количество повторений задается во входных

условиях.

Когда сформирована группа объектов-аналогов и найдены в этой группе наиболее

информативные свойства для интересующего нас объекта, т.е. сформирована

"предсказывающая" подматрица, алгоритм переходит к этапу построения формулы

для прогнозирования.

Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на две части:

1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с интересующим нас объектом

Aij информации-построения "предсказывающей" подматрицы.

2. Определения параметров формулы для возможно лучшего предсказания значения

рассматриваемого элемента Aij с одновременной оценкой ожидаемой точности

прогноза.

В алгоритме ZET, как было отмечено выше, предусмотрен "персональный"

подход к прогнозированию каждого интересующего нас элемента таблицы. Для

каждого элемента Aij подбирается своя предсказывающая подматрица, в которой

содержатся только строки, наиболее похожие на i-ую и столбцы, наиболее

связанные с j-м и по этой "персональной" информации подбирается персональная

формула для прогнозирования элемента Aij. Для того, чтобы при определении

сходства объектов (строк) "вклад" каждого показателя (свойства) не

зависел от единиц измерения и был сопоставим с вкладами других

показателей, производится нормировка каждого столбца относительно его

дисперсии. Если есть необходимость учесть неравнозначность вкладов свойств

в меру сходства, т.е. если из каких-либо соображений известны значимости,

"веса" свойств, то их можно учесть, умножив отнормированные данные на эти

веса.

Если пробелов в данных много, вряд ли можно надеяться заполнить их все

сразу с хорошей точностью. Поэтому организуется многоступенчатая процедура

заполнения. Она состоит в том, чтобы на первом этапе заполнить при

минимальном размере подматриц наиболее надежные элементы, т.е. те, которые

удается предсказать с заданной точностью. Затем поставить эти значения в

таблицу и, уже считая их известными, вновь обратиться к программе с теми же

условиями на требуемую точность и размер подматриц. Добавленная в таблицу

информация может дать возможность предсказать еще ряд значений.

Процесс повторяется при одних и тех же условиях до тех пор, пока не

прекратится предсказание новых элементов. Тогда можно повторять цикл

заполнения.

§ 3 Применение метода ZET для восстановления физических параметров

контактных систем.

Для того, чтобы правильно спрогнозировать неизвестные элементы, необходимо

решить ряд существенных вопросов:

1. Какие характеристики звезд могут быть наиболее информативны с точки

зрения предсказания отношения масс q;

2. Можно ли ожидать достаточно хороших результатов;

3. Если да, то как организовать решение, чтобы заполнить больше пробелов

с приемлемой точностью;

4. Можно ли доподлинно проверить "качество" вычисленных значений.

Для решения первой проблемы - отбора наиболее информативных для предсказания

q характеристик звезд было выполнено редактирование всех известных значений

первого столбца, содержащего отношение масс q контрольной таблицы

размерностью 15х14, куда вошли 15 систем типа W UMa и 14 их параметров из

[3] (известных абсолютно точно), на предсказывающих подматрицах 6х6, 5х5,

4х4. Объектами в данной таблице были контактные системы типа W UMa, а в

качестве свойств были взяты следующие параметры: отношение масс компонент q,

спектральный класс главной компоненты Sp1, масса главной компоненты m1,

абсолютная болометрическая величина более массивной компоненты M1bol, большая

полуось орбиты в долях радиуса Солнца A, угол наклона орбиты i, период

затменной системы P, средний радиус главной компоненты в долях большой

полуоси орбиты r1, средний радиус второстепенной компоненты в долях большой

полуоси орбиты r2, относительный блеск более массивной компоненты L1,

отношение поверхностных яркостей более массивной компоненты к менее массивной

J1/J2, радиус главной компоненты в долях радиуса Солнца R1, радиус

второстепенной компоненты в долях радиуса Солнца R2, абсолютная

болометрическая величина менее массивной компоненты M2bol.

По результатам редактирования была составлена таблица, где показано

участие отдельных параметров в предсказании отношения масс компонентов q.

Из таблицы видно, что параметры P, r1, L1, J1/J2, R1 и M2bol плохо (т.е.

редко) участвуют в предсказании и вклад их достаточно мал, поэтому их

можно отбросить. Так как параметры r2 и R2 связаны с q эмпирическими

формулами: r~rкрит(q) и lg(m)=-0.153+1.56*lg(R), то их также представляется

целесообразным отбросить. Таким образом, остается таблица 15х6, в которую

входят 15 объектов и 6 параметров: q, Sp1, M1bol, m1, A, i. На этой таблице

было выполнено редактирование первого столбца, содержащего отношение масс

q и второго столбца, содержащего спектральные классы главных компонент Sp1.

Получены средние ошибки редактирования соответственно d=13.555% и

d=6.6791%. Поскольку средние ошибки редактирования малы, то можно сделать

вывод, что отобранные параметры позволяют с достаточно высокой степенью

точности восстановить неизвестные значения q.

Далее, из [2] были взяты 295 систем типа KW, для которых выписаны указанные

выше 6 параметров, и составлена рабочая таблица 295х6 , где на месте

предсказываемых элементов стоят пробелы. В качестве известных значений q

были взяты значения из [3 - 16]. Всего получилось 72 известных значения q,

опираясь на которые программа будет предсказывать остальные значения.

Для оценки целесообразности применения метода ZET при прогнозировании

недостающих значений q на рабочей таблице 295х6 было выполнено

редактирование 1-го столбца при предсказывающей подматрице 5х5. Средняя

ошибка редактирования d=11.837%. Таким образом, осталось 70 известных

значений q при 225 неизвестных. Как видно из результатов редактирования

значения q могут быть восстановлены по имеющимся в таблице данным с

достаточно высокой степенью точности.

Для дополнительной проверки эффективности метода было проведено сравнение

72 известных значений отношений масс со значениями, вычисленными методом

ZET. В процессе вычисления использовался режим редактирования, так как

предполагалось, что наблюденные данные 72 звезд получены с достаточной

степенью надежности. Было выполнено редактирование 72 известных элементов на

предсказывающих подматрицах 4х4, 5х5, 6х6 и составлена промежуточная

таблица полученных ZET-методом q и соответствующих ошибок редактирования.

Получив данные редактирования, мы перешли непосредственно к предсказанию

неизвестных значений q. Предсказание велось при границах изменения от 4

до 6 ближайших строк и столбцов при формирования предсказывающих

подматриц, т. е. для каждого предсказываемого значения программа перебирает

все варианты предсказывающих подматриц от 4 до 6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6) и

выбирает значение с наименьшей ожидаемой ошибкой прогнозирования. Было

установлено, что режим ZM1 занижает ошибку предсказания примерно в два раза.

Для этого мы сравнили прогнозируемую и фактическую ошибки (~8% и ~18%

соответственно). Аналогично установили, что режим ZM3 несколько завышает

ошибку предсказания (~20% и ~22%). В режиме ZM3 ожидаемое отклонение (min,

при различных a, средняя величина отклонения предсказанного значения от

истинного всех элементов строки (столбца), связанных с прогнозируемым

элементом) не является реальной ошибкой предсказания, исходя из этого мы

предложили свой метод определения ошибки, разделив ожидаемое отклонение

на предсказанное значение и умножив на 100%. Как показало редактирование,

режим ZM1 производит более точное предсказание, чем режим ZM3 (хотя

значения предсказаний довольно близки: фактическая ошибка в ZM1 ~17%, в ZM3

~20%), поэтому предсказание велось параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для

контроля над ошибкой.

Получили следующие результаты прогнозирования: из 225 восстановленных систем

типа W UMa 218 получены с ошибкой ~5%, 7~10%. По сравнению с данными

наблюдения реальная ошибка превышает полученную методом в 3 раза.

Следовательно, метод занижает ошибку прогноза. Часть полученных значений q

приблизительно совпадает, а для некоторых имеются существенные отличия. Это

связано: 1) с недостатком наблюдательных данных; 2) с ненадежностью исходных

данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с некорректностью подсчета ошибки данным

методом.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Svirskaya E.M., Shmelev A.Yu. “Astronomical and astrophysical transactions”

2. Свечников М.А., Кузнецова Э.Ф. “Каталог приближенных фотометрических

и абсолютных элементов затменных переменных звезд”, Свердловск, Изд-во

Уральского Университета, 1990.

3. Свечников М.А. ”Каталог орбитальных элементов, масс и светимостей

тесных двойных звезд”, Иркутск, Изд-во Иркутского Университета , 1986

.

4. Загоруйко Н.Г. “Эмпирическое предсказание”, Новосибирск , Изд-

во Наука, 1979.

Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С., “Алгоритмы обнаружения

эмпирических закономерностей”, Новосибирск, Изд-во Наука, 1985.