Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ....................................................................

..............................3

§1 Классификация тесных двойных

систем.............................................

§2 Алгоритм

ZET.........................................................................

................

§3 Применение метода ZET……………………………………………..

ВЫВОДЫ.....................................................................

..................................

ПРИЛОЖЕНИЕ.................................................................

............................

ЛИТЕРАТУРА.................................................................

..............................

ВВЕДЕНИЕ.

Изучение фотометрических и абсолютных элементов тесных двойных систем,

находящихся на разных стадиях эволюции, представляет большой интерес

с точки зрения статистического исследования этих систем, изучения

строения Галактики, а также теории происхождения и эволюции одиночных и

двойных звезд. Одной из важных характеристик тесных двойных систем

является отношение масс мене массивной компоненты к более массивной

q=m2/m1 . Отношение масс позволяет уточнить эволюционный тип звезды,

определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости Роша), а

также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых в

данной работе, у которых обе компоненты близки друг к другу и практически

наполняют пределы полости Роша, отношение масс q, кроме всего прочего,

определяет конфигурацию всей системы (зависящую от большой полуоси A,

отношения масс q, угла наклона i).

Однако, отношение масс q известны точно для очень малого числа систем,

имеющих данные спектроскопических наблюдений. Фотометрические же данные,

полученные, как правило, с помощью метода синтеза кривых блеска, не

являются надежными, так как этот метод позволяет получить точное решение

лишь для симметричных кривых блеска. Так, например, у контактных систем,

исследуемых в данной работе, вследствие близости компонент друг к

другу, кривые блеска сильно искажены газовыми потоками, пятнами и

околозвездными газовыми оболочками.

Для статистических исследований представляет значительный интерес

хотя бы приближенная оценка относительных и абсолютных параметров тех

затменных систем, для которых элементы спектроскопической орбиты неизвестны

и прямое вычисление их абсолютных характеристик не представляется

возможным.

М.А. Свечников и Э.Ф. Кузнецова в [2] для такой приближенной оценки

использовали статистические соотношения (масса - радиус, масса - спектр,

масса - светимость и др.) для компонент различных типов, а также ряд

других статистических зависимостей. Из-за того, что использованные для

определения элементов статистические зависимости носят приближенный

характер, следует ожидать, что для многих систем найденные в [2]

приближенные элементы окажутся неточными и даже ошибочными. Это

обусловливает необходимость теоретических подходов к оценке параметров

затменных переменных звезд. В изученной статье [1] отношение масс

компонент q и спектральный класс главной компоненты Sp1 для звезд типа W

UMa определяется с помощью статистического метода ZET, разработанного в

Международной лаборатории интеллектуальных систем (Новосибирск) Н.Г.

Загоруйко. Метод ZET применялся для восстановления глубины вторичных

минимумов звездных систем типа РГП (ошибка прогноза составила 5-8%),

спектров звезд этого типа, спектров класса главной компоненты контактных

систем типа KW и отношения масс. Точность восстановления доходила до 10%

и только для q этот результат был завышен. Была составлена таблица, в

которую включены q, полученные разными авторами, для некоторых отдельных

систем значения q имеют очень большие расхождения. Поэтому цель данной

работы улучшить качества восстановления q методом ZET.

§1. Классификация тесных двойных систем.

В 1967-69 гг. М.А.Свечниковым была разработана классификация

тесных двойных систем, сочетающая достоинства классификации

Копала(1955), учитывающей геометрические свойства этих систем (размеры

компонент по отношению к размерам соответствующих внутренних критических

поверхностей (ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962 гг.), основанной

на физических характеристиках компонентов, входящих в данную систему. Эта

классификация удобна при статистических исследованиях тесных двойных звезд,

и, будучи проведена по геометрическим и физическим характеристикам

компонентов затменных систем (отношению размеров компонентов к размерам

соответствующих ВКП, спектральным классам и классам светимости

компонентов), оказывается в то же время связанной с эволюционными стадиями

затменных систем, определяемыми их возрастом, начальными массами

компонентов и начальными параметрами орбиты системы.

Как было показано в работе М.А.Свечникова (1969), подавляющее

большинство изученных затменных переменных звезд (т.е. тех систем, для

которых определены фотометрические и спектроскопические элементы)

принадлежит к одному из следующих основных типов:

1. Разделенные системы главной последовательности (РГП), где оба компонента

системы являются звездами главной последовательности, не заполняющими

соответствующие ВКП, обычно не приближающиеся к ним ближе по размерам чем

ѕ

2. Полу разделенные системы (ПР), где более массивный компонент является

звездой главной последовательности, обычно далекой от своего предела Роша,

а менее массивный спутник является субгигантом, обладающим избытком

светимости и радиуса и близким по размерам к соответствующей ВКП.

3. Разделенные системы с субгигантом (РС), у которых, в отличии от ПР-

систем, спутник-субгигант, несмотря на большой избыток радиуса, не

заполняет свою ВКП, а имеет размеры, значительно меньшие, чем последняя.

4. "Контактные" системы, в которых компоненты близки по своим размерам к

соответствующим ВКП (хотя и не обязательно в точности их заполняют).

Эти системы подразделяются на два разных подтипа:

а) Контактные системы типа W UMa (KW), имеющие, в большинстве случаев,

спектры главных компонентов более поздние, чем F0. Главные (более

массивные) компоненты у этих систем не уклоняются значительно от

зависимостей масса-светимость и масса-радиус для звезд главной

последовательности в то время, как спутники обладают значительным избытком

светимости (подобно субгигантам в ПР и РС-системах), но не обладают

избытком радиуса (вследствие чего они располагаются на диаграмме спектр-

светимость левее главной начальной последовательности, примерно параллельно

ей);

б) Контактные системы ранних спектральных классов (КР) (F0 и более

ранние), где оба компонента, близкие по размерам к своим ВКП, тем не

менее, в большинстве случаев не уклоняются значительно от зависимостей

масса-светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности.

5. Системы, имеющие хотя бы один компонент, являющийся либо сверхгигантом,

либо гигантом позднего спектрального класса (С-Г). Такие системы

сравнительно многочисленны среди изученных затменных переменных

вследствие их высокой светимости и необычных физических характеристик, но

в действительности они, по-видимому, должны составлять лишь небольшую долю

от общего числа тесных двойных систем.

6. Системы, у которых, по крайней мере, один компонент лежит ниже главной

последовательности и является горячим субкарликом или белым карликом (С-

К). Сюда же были отнесены и системы, один из компонентов, которых является

нейтронной звездой или "черной дырой", а также системы с WR-компонентами.

Подобная классификация была выполнена ранее М.А.Свечниковым (1969) для

197 затменных систем с известными абсолютными элементами. Она могла быть

более или менее уверенно проведена также для затменных переменных с

известными фотометрическими элементами, у которых можно каким-либо образом

оценить и отношение масс компонентов q=m2/m1 и тем самым определить

относительные размеры соответствующих ВКП. Так, из примерно 500 затменных

систем с известными фотометрическими элементами, имеющихся в карточном

каталоге М.А.Свечникова, надежную классификацию можно было провести для

367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому или иному типу

имеется некоторая степень неуверенности, обычно из-за отсутствия или

ненадежности имеющихся данных о величине q.

§2 Алгоритм ZET.

Алгоритм ZET предназначен для прогнозирования и редактирования

(проверки) значений в таблицах "объект-свойство". В таких таблицах строки

соответствуют рассматриваемым объектам, а столбцы есть значения

характеристик, описывающих эти объекты. Таким образом, на пересечение

строки с номером "i" и столбца с номером "j", будет находиться значение j-

ой характеристики для i-го объекта. Клетку таблицы, расположенную на

пересечение i-ой строки и j-го столбца, обозначим символом Aij. Пусть

значения Aij неизвестно. Можно достаточно уверенно предсказать это

значение, если использовать имеющиеся в таблице закономерности. В реальных

таблицах многие столбцы связаны друг с другом. Есть в таблицах и строки,

похожие друг на друга по значениям своих характеристик. В алгоритме ZET

выявляются такие связи, и на их основе выполняется предсказание искомого

значения. Предсказание осуществляется на основе принципа локальной

линейности. Это одна из основных идей, позволившая построить эффективный

метод и получать хорошие результаты. Она заключается в том, что

предсказание выполняется не на всей информации, имеющейся в таблице, а

только на той ее части, которая наиболее тесно связана со строкой и

столбцом, в которых этот пробел находится. Другими словами, в алгоритме

ZET, в отличии от многих других алгоритмов заполнение пробелов,

реализуется "локальный" подход к предсказанию каждого пропущенного

значения. Для вычисления этого значения строится своя "предсказывающая

подматрица", содержащая только имеющую отношение к делу информацию. В

подматрицу отбираются в порядке убывания сходства строки, т.е. строки,

самые похожие на строку, содержащую интересующий нас пробел, а затем для

выбранных строк отбираются также в порядке убывания сходства столбцы

"самые похожие" на столбец, содержащий этот пробел.

| | | | | | |

| | | | | | |

| | |Фai|Aai| | |

| | |k |j | | |

| | |Aal|Aal| | |

| | |k |j | | |

| | | | | | |

| | | | | | |

Предсказание элемента Aij по k-му столбцу Aij(k) делается на

основание гипотезы о линейной зависимости между столбцами, при этом

сначала вычисляются коэффициенты линейной регрессии Вjk и Сjk ,и по

ним находится элемент Aij(k):

Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk.

После того, как будут сделаны предсказания Аij(k) по всем р столбцам,

не имеющим пропуска в i-ой строке, вычисляется средневзвешенная

величина элемента:

Aij(стб)=([pic]Aij(k)*Qkj)/([pic]Qkj)

Вклад каждого столбца (строки) в результат предсказания зависит от их

"компетентности" Q, являющейся функцией двух аргументов: "близости"

между j-м и k-м столбцами (i-ой и l-ой строками) и "взаимной заполненность"

этих столбцов (строк). "Близость" представляет собой степенную функцию

модуля коэффициента линейной корреляции (Rkj)а (или (Ril)а). "Взаимная

заполненность" k-го и j-го столбцов (Lkj) равна числу непустых пар

элементов этих столбцов Alk и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда:

Qil=(Ril)a*Lil

Qkj=(Rkj)a*Lkj .

Выбор показателя степени а осуществляется следующим образом, при каждом

из последовательных значений а (из некоторого заданного диапазона

amin<a<amax) выполняется предсказание всех известных элементов k-го

столбца матрицы A(i,j). При каждом a вычисляется расхождение между

фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания Aij выбирается

то из значений a, при котором была получена лучшая средняя точность dj

предсказания этих известных значений. Легко увидеть, что, чем больше

(Rkj)a, тем с большим весом будут учитываться сведения от самых "похожих"

столбцов и тем сильнее будут подавляться подсказки от менее "похожих".

Аналогичная процедура построения формулы и оценки точности вычисления

всех элементов i-ой строки выполняется для проверки возможности

предсказания Aij как элемента строки.

Aij(стр)=([pic]*Qil)/([pic])

Данные в матрице A(i,j) предварительно нормированы так, чтобы элементы

каждого столбца изменялись в пределах от 0 до 1. После получения оценок

предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с которой удалось

предсказать известные элементы i-ой строки di и j-го столбца dj.

Окончательно для предсказания выбирается либо Aij(стб), либо

Aij(стр), в зависимости от того, где точность d оказалась выше. Эта

точность рассматривается в качестве ожидаемой ошибки предсказания Aij.

Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные этапы:

1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных данных по дисперсиям.

2. Выбирается пробел Aij, находящийся на пересечение i-ой строки и j-го

столбца.

3. При определение сходства столбцов производится их предварительная

нормировка к интервалу [0,1], и для строк и для столбцов степень сходства

определяется на основе евклидова расстояния

rев=[[pic]]1/2 ,

где Xj, Yj - соответственно значения j-го свойства объектов X и Y.

Использование такой меры сходства и обуславливает применимость алгоритма к

таблицам данных, представленных в сильных шкалах, для которых операции,

использованные в формуле, являются допустимыми преобразованиями. По

расстоянию rев выбирается заданное число объектов-аналогов, а для них-

свойств-аналогов.

4. В матрице, состоящей из отобранных строк, столбцы нормируются к

интервалу [0,1] и выбирается заданное количество столбцов, наиболее

сильно связанных с j-м.

5. По исходной таблице формируется "предсказывающая" подматрица,

составленная из элементов, находящихся на пересечении i-ой и ближайшей к

ней строк с j-м и ближайших к нему столбцами.

6. Столбцы полученной подматрицы нормируются к интервалу [0,1].

7. Из уравнений линейной регрессии для k-го элемента Aij вычисляются

"подсказки" Aij от строк и (или) столбцов "предсказывающей" подматрицы.

8. Находится коэффициент а, определяющий степень учета взаимного сходства

столбцов (строк) подматрицы при вычислении итогового значения

прогнозируемого элемента Aij.

9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела.

10. Значения, вычисленные в режимах заполнения в зависимости от входных

условий, заносятся в таблицу сразу же после вычисления каждого из них или

только после окончания прогнозирования значений для всех пробелов таблицы.

11. Пункты 1-10 повторяются. Количество повторений задается во входных

условиях.

Когда сформирована группа объектов-аналогов и найдены в этой группе

наиболее информативные свойства для интересующего нас объекта, т.е.

сформирована "предсказывающая" подматрица, алгоритм переходит к этапу

построения формулы для прогнозирования.

Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на две части:

1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с интересующим нас объектом

Aij информации-построения "предсказывающей" подматрицы.

2. Определения параметров формулы для возможно лучшего предсказания

значения рассматриваемого элемента Aij с одновременной оценкой ожидаемой

точности прогноза.

В алгоритме ZET, как было отмечено выше, предусмотрен "персональный"

подход к прогнозированию каждого интересующего нас элемента таблицы. Для

каждого элемента Aij подбирается своя предсказывающая подматрица, в

которой содержатся только строки, наиболее похожие на i-ую и столбцы,

наиболее связанные с j-м и по этой "персональной" информации подбирается

персональная формула для прогнозирования элемента Aij. Для того, чтобы при

определении сходства объектов (строк) "вклад" каждого показателя

(свойства) не зависел от единиц измерения и был сопоставим с вкладами

других показателей, производится нормировка каждого столбца

относительно его дисперсии. Если есть необходимость учесть

неравнозначность вкладов свойств в меру сходства, т.е. если из каких-либо

соображений известны значимости, "веса" свойств, то их можно учесть,

умножив отнормированные данные на эти веса.

Если пробелов в данных много, вряд ли можно надеяться заполнить их

все сразу с хорошей точностью. Поэтому организуется многоступенчатая

процедура заполнения. Она состоит в том, чтобы на первом этапе заполнить

при минимальном размере подматриц наиболее надежные элементы, т.е. те,

которые удается предсказать с заданной точностью. Затем поставить эти

значения в таблицу и, уже считая их известными, вновь обратиться к

программе с теми же условиями на требуемую точность и размер подматриц.

Добавленная в таблицу информация может дать возможность предсказать еще

ряд значений.

Процесс повторяется при одних и тех же условиях до тех пор, пока не

прекратится предсказание новых элементов. Тогда можно повторять цикл

заполнения.

§ 3 Применение метода ZET для восстановления физических

параметров контактных систем.

Для того, чтобы правильно спрогнозировать неизвестные элементы,

необходимо решить ряд существенных вопросов:

1. Какие характеристики звезд могут быть наиболее информативны с

точки зрения предсказания отношения масс q;

2. Можно ли ожидать достаточно хороших результатов;

3. Если да, то как организовать решение, чтобы заполнить больше

пробелов с приемлемой точностью;

4. Можно ли доподлинно проверить "качество" вычисленных значений.

Для решения первой проблемы - отбора наиболее информативных для

предсказания q характеристик звезд было выполнено редактирование всех

известных значений первого столбца, содержащего отношение масс q

контрольной таблицы размерностью 15х14, куда вошли 15 систем типа W UMa и

14 их параметров из [3] (известных абсолютно точно), на предсказывающих

подматрицах 6х6, 5х5, 4х4. Объектами в данной таблице были контактные

системы типа W UMa, а в качестве свойств были взяты следующие параметры:

отношение масс компонент q, спектральный класс главной компоненты Sp1,

масса главной компоненты m1, абсолютная болометрическая величина более

массивной компоненты M1bol, большая полуось орбиты в долях радиуса Солнца

A, угол наклона орбиты i, период затменной системы P, средний радиус

главной компоненты в долях большой полуоси орбиты r1, средний радиус

второстепенной компоненты в долях большой полуоси орбиты r2, относительный

блеск более массивной компоненты L1, отношение поверхностных яркостей

более массивной компоненты к менее массивной J1/J2, радиус главной

компоненты в долях радиуса Солнца R1, радиус второстепенной компоненты в

долях радиуса Солнца R2, абсолютная болометрическая величина менее

массивной компоненты M2bol.

По результатам редактирования была составлена таблица, где

показано участие отдельных параметров в предсказании отношения масс

компонентов q. Из таблицы видно, что параметры P, r1, L1, J1/J2, R1 и

M2bol плохо (т.е. редко) участвуют в предсказании и вклад их достаточно

мал, поэтому их можно отбросить. Так как параметры r2 и R2 связаны с q

эмпирическими формулами: r~rкрит(q) и lg(m)=-0.153+1.56*lg(R), то их

также представляется целесообразным отбросить. Таким образом, остается

таблица 15х6, в которую входят 15 объектов и 6 параметров: q, Sp1, M1bol,

m1, A, i. На этой таблице было выполнено редактирование первого столбца,

содержащего отношение масс q и второго столбца, содержащего спектральные

классы главных компонент Sp1. Получены средние ошибки редактирования

соответственно d=13.555% и d=6.6791%. Поскольку средние ошибки

редактирования малы, то можно сделать вывод, что отобранные параметры

позволяют с достаточно высокой степенью точности восстановить неизвестные

значения q.

Далее, из [2] были взяты 295 систем типа KW, для которых

выписаны указанные выше 6 параметров, и составлена рабочая таблица 295х6 ,

где на месте предсказываемых элементов стоят пробелы. В качестве известных

значений q были взяты значения из [3 - 16]. Всего получилось 72

известных значения q, опираясь на которые программа будет предсказывать

остальные значения.

Для оценки целесообразности применения метода ZET при

прогнозировании недостающих значений q на рабочей таблице 295х6 было

выполнено редактирование 1-го столбца при предсказывающей подматрице

5х5. Средняя ошибка редактирования d=11.837%. Таким образом, осталось

70 известных значений q при 225 неизвестных. Как видно из результатов

редактирования значения q могут быть восстановлены по имеющимся в таблице

данным с достаточно высокой степенью точности.

Для дополнительной проверки эффективности метода было проведено

сравнение 72 известных значений отношений масс со значениями, вычисленными

методом ZET. В процессе вычисления использовался режим редактирования,

так как предполагалось, что наблюденные данные 72 звезд получены с

достаточной степенью надежности. Было выполнено редактирование 72 известных

элементов на предсказывающих подматрицах 4х4, 5х5, 6х6 и составлена

промежуточная таблица полученных ZET-методом q и соответствующих ошибок

редактирования. Получив данные редактирования, мы перешли

непосредственно к предсказанию неизвестных значений q. Предсказание

велось при границах изменения от 4 до 6 ближайших строк и столбцов при

формирования предсказывающих подматриц, т. е. для каждого

предсказываемого значения программа перебирает все варианты

предсказывающих подматриц от 4 до 6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6) и выбирает

значение с наименьшей ожидаемой ошибкой прогнозирования. Было

установлено, что режим ZM1 занижает ошибку предсказания примерно в два

раза. Для этого мы сравнили прогнозируемую и фактическую ошибки (~8% и ~18%

соответственно). Аналогично установили, что режим ZM3 несколько

завышает ошибку предсказания (~20% и ~22%). В режиме ZM3 ожидаемое

отклонение (min, при различных a, средняя величина отклонения

предсказанного значения от истинного всех элементов строки (столбца),

связанных с прогнозируемым элементом) не является реальной ошибкой

предсказания, исходя из этого мы предложили свой метод определения

ошибки, разделив ожидаемое отклонение на предсказанное значение и

умножив на 100%. Как показало редактирование, режим ZM1 производит более

точное предсказание, чем режим ZM3 (хотя значения предсказаний довольно

близки: фактическая ошибка в ZM1 ~17%, в ZM3 ~20%), поэтому предсказание

велось параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для контроля над ошибкой.

Получили следующие результаты прогнозирования: из 225 восстановленных

систем типа W UMa 218 получены с ошибкой (5%, 7(10%. По сравнению с

данными наблюдения реальная ошибка превышает полученную методом в 3 раза.

Следовательно, метод занижает ошибку прогноза. Часть полученных значений q

приблизительно совпадает, а для некоторых имеются существенные отличия.

Это связано: 1) с недостатком наблюдательных данных; 2) с ненадежностью

исходных данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с некорректностью подсчета

ошибки данным методом.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Svirskaya E.M., Shmelev A.Yu. “Astronomical and astrophysical

transactions”

2. Свечников М.А., Кузнецова Э.Ф. “Каталог приближенных

фотометрических и абсолютных элементов затменных переменных

звезд”, Свердловск, Изд-во Уральского Университета, 1990.

3. Свечников М.А. ”Каталог орбитальных элементов, масс и

светимостей

тесных двойных звезд”, Иркутск, Изд-во Иркутского Университета

, 1986

.

4. Загоруйко Н.Г. “Эмпирическое предсказание”, Новосибирск , Изд-во

Наука, 1979.

Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С., “Алгоритмы обнаружения

эмпирических закономерностей”, Новосибирск, Изд-во Наука,

1985.

-----------------------

1 . . . k j . . . n

1

:

i

l

:

m